[論文レビュー] Existence and Uniqueness results for a class of Generalized Fractional Differential Equations

Udita N. Katugampola|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2014

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 34被引用数 39

ひとこと要約

本稿では、リーマン＝リウビルおよびハダマール微分を統一するKatugampolaの一般化された分数階微分によって支配される、一般化された分数階微分方程式のクラスについて、存在および一意性の定理を確立している。固定点反復およびWeissingerの固定点定理を用いて、非線形項のリプシッツ連続性および連続性の条件下で、一意解の存在を証明している。

ABSTRACT

The author (Bull. Math. Anal. App. 6(4)(2014):1-15), introduced a new fractional derivative, \[{}^ρ\mathcal{D}_a^αf (x) = \frac{ρ^{α-n+1}}{Γ({n-α})} \, \bigg(x^{1-ρ} \,\frac{d}{dx}\bigg)^n \int^x_a \frac{τ^{ρ-1} f(τ)}{(x^ρ- τ^ρ)^{α-n+1}}\, dτ\] which generalizes two familiar fractional derivatives, namely, the Riemann-Liouville and the Hadamard fractional derivatives to a single form. In this paper, we derive the existence and uniqueness results for a generalized fractional differential equation governed by the fractional derivative in question.

研究の動機と目的

• Katugampolaの分数階微分を含む一般化された分数階微分方程式のクラスについて、存在および一意性の結果を確立すること。
• リーマン＝リウビルおよびハダマール微分を特別な場合として含む統一的分数階微分を組み込むことにより、既存の分数階微分方程式の結果を一般化すること。
• この一般化された分数階微分によって支配される初期値問題のための厳密な解析的枠組みを提供すること。
• Weissingerの定理を含む古典的固定点技法を、一般化された分数階微分方程式の文脈に拡張すること。
• リプシッツ連続性および連続性の条件下で、反復的近似による解の一意性および収束を保証すること。

提案手法

• 研究では、$ {}^\rho\nabla_{a}^{\nu}f(x) = \frac{\rho^{\nu-n+1}}{\text{B}(\nu-n+1, n-\nu)} \bigg{(} x^{1-\rho} \frac{d}{dx} \bigg{)}^{n} \int_a^x \frac{\tau^{\rho-1} f(\tau)}{(x^{\rho} - \tau^{\rho})^{\nu-n+1}} d\tau $ として定義されるKatugampolaの一般化された分数階微分が用いられ、これはリーマン＝リウビルおよびハダマール微分を一般化する。
• 解の存在は、一般化された分数階積分を通じて定義される積分作用素 $ A $ を用いた逐次近似法により証明されている。
• 作用素 $ A $ は、連続性および有界性の仮定の下で、$ C[0,h] $ の閉かつ凸で空でない部分集合 $ U \subset C[0,h] $ に自身を写像することを示している。
• Weissingerの固定点定理が、反復作用素 $ A^j $ に適用され、$ \sum_{j=0}^\infty \omega_j $ の収束が保証され、ここで $ \omega_j = \frac{L^j (h^\rho / \rho)^{\alpha j}}{\Gamma(1 + \alpha j)} $ である。これにより、一意な不動点が得られる。
• 非線形関数 $ f $ におけるリプシッツ条件が、連続する反復の差を抑え、Picard反復列の収束を導く。
• 解は、$ y_n = A^n y_0 $ の列の極限として構成され、系列 $ \sum \omega_j $ のMittag-Leffler関数の性質により収束が保証されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Katugampolaの微分によって支配される一般化された分数階微分方程式が解をもつのはどのような条件下か？
• RQ2 この一般化された分数階微分の文脈において、解の存在および一意性はどのように確立できるか？
• RQ3 Weissingerの定理のような古典的固定点定理は、このような分数階微分方程式の文脈で一意性を証明するために適応可能か？
• RQ4 非線形項のリプシッツ連続性は、反復的解の収束を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 リーマン＝リウビルおよびハダマール形式を統一する一般化された分数階微分は、存在および一意性の定理の構造にどのように影響を与えるか？

主な発見

• Katugampolaの一般化された分数階微分を含む初期値問題の解の存在は、逐次近似法によって確立された。
• 非線形項 $ f $ がその第二変数に関してリプシッツ条件を満たすと仮定すれば、解の一意性が示された。
• Picard反復列の収束は、系列 $ \sum_{j=0}^\infty \frac{L^j (h^\rho / \rho)^{\alpha j}}{\Gamma(1 + \alpha j)} $ の収束により保証され、これはMittag-Leffler関数 $ E_{\alpha}(L (h^\rho / \rho)^{\alpha}) $ に対応する。
• 連続する反復の差は、$ \|A^j y - A^j \tilde{y}\|_{L_\infty[0,x]} \leq \frac{L^j (x^\rho / \rho)^{\alpha j}}{\Gamma(1 + \alpha j)} \|y - \tilde{y}\|_{L_\infty[0,x]} $ で抑えられ、収縮的挙動が保証される。
• 解は空間 $ C[0,h] $ に属し、解の存在および一意性は、問題パラメータに依存する正の $ h^* > 0 $ を持つコンパクト区間 $ [0,h] $ において有効である。
• 本手法は、Mittag-Leffler関数に基づく誤差評価を得られる反復列を通じて、解を構成的に近似する方法を提供する。