[論文レビュー] Existence for stochastic 2D Euler equations with positive $H^{-1}$ vorticity

Zdzisław Brzeźniak, Mario Maurelli|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 54被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、任意の非負の初期渇度が $H^{-1}$ に属する場合に、輸送型ノイズを伴う確率的2次元オイラー方程式に対して、弱い、測度値の、かつ $H^{-1}$-値の解の存在を確立する。結果として、デロールトの決定的解の存在定理を、弱い確率的および解析的解を、適切な関数空間枠組みにおいて、緊密性と収束の議論により、確率的設定に拡張する。

ABSTRACT

We prove the existence of non-negative measure- and $H^{-1}$-valued vorticity solutions to the stochastic 2D Euler equations with transport vorticity noise, starting from any non-negative vortex sheet. This extends the result by Delort (J.Amer.Math.Soc. 1991) to the stochastic case.

研究の動機と目的

• 輸送型ノイズを伴う確率的2次元オイラー方程式の渇度表現における弱解の存在を確立すること。
• 非負の $H^{-1}$-渇度初期データに対するデロールトの決定的解の存在結果を、確率的設定に拡張すること。
• 初期渇度が非負の測度であり、$H^{-1}$ に属すること、特に渇度シート初期データを含む場合に対処すること。
• トーラス上での確率的渇度方程式に対して、弱い存在性を確率的および解析的両意味で証明すること。
• 確率的流体力学の文脈において、不規則な初期データを扱うための枠組みを構築すること。

提案手法

• 2次元トーラス $\mathbb{T}^2$ 上で、乗法的で輸送型のノイズを伴う、渇度形の確率的2次元オイラー方程式を定式化すること。
• ビオ＝サバールの法則を用いて、渇度と特異核 $K = \nabla^\perp G$ の畳み込みとして速度場を定義する。ここで $G$ はラプラシアンのグリーン関数である。
• 解のパスワイズ制御のため、$L^\infty_{t,\omega}(\mathcal{M}_x)$、$L^2_{t,\omega}(H^{-1}_x)$、および $L^m_\omega(C^\alpha_t(H^{-4}_x))$ における事前評価を確立すること。
• $H^{-1}$-値測度の空間における緊密性の議論を適用し、近似解の収束する部分列を抽出すること。
• 弱収束および可測選択技術を用いて、非線形項および確率的項の収束を証明すること。
• 極限過程が弱い意味で確率的渇度方程式を満たすことを確認し、確率積分および非線形輸送項を含むこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期渇度が $H^{-1}$ に属する非負の測度である場合に、確率的2次元オイラー方程式に対して弱解が存在しうるか？
• RQ2 輸送型ノイズによる確率的摂動が、$H^{-1}$-枠組みにおける測度値解の存在を保ち続けるか？
• RQ3 不規則な初期データを伴う確率的状況において、デロールトの決定的解の存在結果をどのように拡張できるか？
• RQ4 近似解の緊密性および収束を保証するのに十分な事前評価は何か？
• RQ5 極限解が弱い意味で確率的および解析的両方の意味で、確率的渇度方程式を満たすことが示せるか？

主な発見

• この論文は、輸送型ノイズを伴う確率的2次元オイラー方程式に対して、弱い、測度値の、かつ $H^{-1}$-値の解の存在を証明する。
• 解は、任意の初期渇度 $\xi_0$ に対して存在し、それは非負の測度であり、$H^{-1}(\mathbb{T}^2)$ に属する。これには渇度シート初期データも含まれる。
• $L^\infty_{t,\omega}(\mathcal{M}_x)$、$L^2_{t,\omega}(H^{-1}_x)$、および $L^m_\omega(C^\alpha_t(H^{-4}_x))$ における事前評価が確立され、解の経路を制御する。
• $H^{-1}$-値測度の空間における近似解の法則の緊密性が証明され、収束する部分列の抽出が可能になる。
• 極限過程は弱い意味で確率的渇度方程式を満たし、非線形輸送項および確率積分の両方の収束が確認される。
• 結果として、デロールトの決定的解の存在定理が確率的状況に拡張され、確率的および解析的両意味で弱い存在性が確立される。