[論文レビュー] Existence of affine realizations for stochastic partial differential equations driven by L\\'evy processes

Stefan Tappe|arXiv (Cornell University)|May 20, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 27被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、Lévy過程によって駆動される半線形確率的偏微分方程式（SPDE）におけるアフィン実現の存在に必要な十分条件を確立する。アフィン実現が存在するための必要十分条件は、有限次元部分空間 $ V $ が $ A $-不変であること、ドリフトの $ V $ 上への射影が $ V $ の陪集合上で定数であること、およびボラティリティが $ V $ に写像されることである。これらの結果は、数学的物理学およびファイナンス分野の例を通じて提示されており、ヒエールトおよびラゲールのSPDEが含まれる。

ABSTRACT

The goal of this paper is to clarify when a semilinear stochastic partial differential equation driven by L\\'evy processes admits an affine realization. Our results are accompanied by several examples arising in natural sciences and economics.

研究の動機と目的

• Lévy過程によって駆動される半線形SPDEがアフィン実現をもつ条件を明確化すること。
• 既存の有限次元実現に関する結果を、一般のLévy駆動ケースに拡張すること。
• 数学的・厳密かつ自然科学および経済学への応用が可能なアフィン実現の特徴づけを提供すること。
• 標準的な仮定を緩和し、$ C^1 $-foliationの代わりに$ C^0 $-foliationを要件とすること。
• HJMM型モデルおよび他のSPDEにおけるアフィン実現に関する先行研究を統合・一般化すること。

提案手法

• 解が $ r_t = \psi(t) + Y_t $ と表されるという新しいアフィン実現の定義を導入する。ここで $ \psi $ は決定的曲線であり、$ Y_t $ はヒルベルト空間 $ H $ の有限次元部分空間 $ V \subset H $ に値をとる。
• 3つの主要な条件を課す：$ V $ は $ A $-不変でなければならない。ドリフトの射影 $ \Pi_{(\bullet,V)}\alpha $ は $ V $ の陪集合上で定数でなければならない。また、すべての $ k = 1,\dots,m $ に対して $ \sigma^k(H) \subset V $ でなければならない。
• HermiteおよびLaguerre作用素に関連する生成作用素を持つSPDEに対して、スペクトル理論および固有関数展開を用いる。
• 解がアフィン部分空間 $ \psi(t) + V $ の上を動くという不変foliationの概念を適用し、無限次元の力学を有限次元のSDEに還元する。
• 分解 $ H = U \oplus V $ を用いて射影を定義し、条件（2）が補空間 $ U $ の選択に依存しないことを保証する。
• Hermite、Laguerre、および2次項構造SPDEの例を通じて理論を検証し、ボラティリティが固有関数の有限次元スパンに写像される場合に限りアフィン実現が存在することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lévy過程によって駆動される半線形SPDEがアフィン実現をもつのはどのような条件下か？
• RQ2 ドリフトおよびボラティリティ係数の構造は、アフィン実現の存在とどのように関係するか？
• RQ3 有限次元実現の存在が、ある種の正則性または可積分性条件のもとでアフィン実現を意味することができるか？
• RQ4 生成作用素の固有関数は、アフィン実現の存在を決定づける上で果たす役割は何か？
• RQ5 本稿の結果は、ブラウン運動駆動SPDEおよびHJMMモデルに関する先行研究とどのように類似または相違するか？

主な発見

• Lévy過程によって駆動されるSPDEが部分空間 $ V $ によって生成されるアフィン実現をもつための必要十分条件は、$ V $ が $ A $-不変であること、ドリフト $ \alpha $ の $ V $ 上への射影が $ V $ の陪集合上で定数であること、およびすべての $ k = 1,\dots,m $ に対して $ \sigma^k(H) \subset V $ であることである。
• ドリフト射影に関する条件は、分解 $ H = U \oplus V $ における補空間 $ U $ の選択に依存せず、基準の堅牢性を保証する。
• 空間 $ L^2(\mathbb{R}^d, \exp(-\|x\|_2^2)dx) $ 上の確率的エルミート方程式に対しては、ボラティリティが固定次数の一般化エルミート多項式の有限次元スパンに写像される場合に限りアフィン実現が存在する。
• 空間 $ L^2(\mathbb{R}_+^d, \exp(-\|x\|_1)dx) $ 上の確率的ラゲール方程式に対しては、ボラティリティが固定次数の一般化ラゲール多項式の有限次元スパンに写像される場合に限りアフィン実現が存在する。
• ディリクレ境界条件をもつ2次項構造方程式に対しては、ボラティリティが有限添字集合 $ I \subset \mathbb{N} $ に対して $ \exp(-x/\kappa)\sin(n\pi x) $ の固有関数の有限次元スパンに写像される場合に限りアフィン実現が存在する。
• 本稿の結果は、ブラウン運動駆動SPDEに関する先行研究を一般化しており、ジャンプ活動が存在する場合には、一般の有限次元実現よりもアフィン実現が構造的に単純であることが示されている。