[論文レビュー] Existence of limiting distribution for affine processes

Peng Jin, Jonas Kremer+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、状態空間 $\mathbb{R}_{\geqslant 0}^{m} \times \mathbb{R}^{n}$ 上の保存的アフィン過程における極限分布の存在の十分条件を確立し、OU型過程およびCBI過程に関する先行結果を統合・拡張する。常微分方程式の安定性理論と一般化されたリッカティ方程式の解析を組み合わせることで、過程が生成子関数 $F(\psi(s,u))$ の積分の指数関数として表される一意な定常分布に法的に収束することを証明する。極限分布が一意な定常分布であることは、Lévyの連続性定理と半フロー性質を用いて示される。

ABSTRACT

In this paper, sufficient conditions are given for the existence of limiting distribution of a conservative affine process on the canonical state space $\mathbb{R}_{\geqslant0}^{m} imes\mathbb{R}^{n}$, where $m, hinspace n\in\mathbb{Z}_{\geqslant0}$ with $m+n>0$. Our main theorem extends and unifies some known results for OU-type processes on $\mathbb{R}^{n}$ and one-dimensional CBI processes (with state space $\mathbb{R}_{\geqslant0}$). To prove our result, we combine analytical and probabilistic techniques; in particular, the stability theory for ODEs plays an important role.

研究の動機と目的

• OU型過程およびCBI過程について、それぞれ $\mathbb{R}^n$ および $\mathbb{R}_{\geq 0}$ 上の極限分布に関する既存の結果を統合・一般化すること。
• $m+n > 0$ を満たす $\mathbb{R}_{\geq 0}^{m} \times \mathbb{R}^{n}$ 上の一般の保存的アフィン過程について、極限分布の存在の十分条件を確立すること。
• 生成子関数 $F$ を用いて特徴関数の形で極限分布を特定し、それが一意な定常分布であることを証明すること。
• 特に $m \geq 2$ または $m \geq 1, n \geq 1$ の場合に、従来未解決であったケースに既知の結果を拡張すること。

提案手法

• アフィン過程の特徴関数を記述する一般化されたリッカティ方程式を用い、特に $\phi(t,u)$ および $\psi(t,u)$ を分析する。
• 与えられた条件下で、$\psi(t,u)$ が $t \to \infty$ の際に指数的に速くゼロに収束することを、常微分方程式の安定性理論を適用して示す。
• コンパクト集合上で一様収束を用いることで、極限特徴関数の連続性を保証する。
• $\psi(t,u)$ の半フロー性質を用いて、特徴関数の時間発展を $F(\psi(s,u))$ の積分と関連付ける。
• Lévyの連続性定理を適用し、$X_t$ が特徴関数 $\exp\left\{\int_0^\infty F(\psi(s,u))\,ds\right\}$ を持つ極限分布 $\pi$ に弱収束することを確立する。
• $\psi(t,u)$ および $\phi(t,u)$ が無限時間極限に収束することを根拠に、背理法を用いて定常分布の一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 保存的アフィン過程が $\mathbb{R}_{\geq 0}^{m} \times \mathbb{R}^{n}$ 上に存在するとき、$t \to \infty$ の際に法的に極限分布に収束するための条件は何か？
• RQ2 生成子関数 $F$ を用いて、極限分布をその特徴関数として明示的に特徴づけられるか？
• RQ3 このようなアフィン過程に対して、極限分布は一意な定常分布か？
• RQ4 従来未解決であった $m \geq 2$ または $m \geq 1, n \geq 1$ の場合に、結果はどのように拡張されるか？
• RQ5 $\psi(t,u)$ の指数的減衰が収束性および定常性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 極限分布 $\pi$ は存在し、特徴関数 $\int_D e^{\langle u,x \rangle} \pi(dx) = \exp\left\{\int_0^\infty F(\psi(s,u))\,ds\right\}$ で特徴づけられる。
• 過程 $X_t$ は $t \to \infty$ の際に $\pi$ に法的に収束し、$\psi(t,u)$ の指数的減衰により収束が指数的に速い。
• 極限分布 $\pi$ はアフィン過程 $X_t$ の一意な定常分布である。
• $\psi(t,u)$ と $\phi(t,u)$ の収束が、定義域のコンパクト集合上で一様であるため、極限特徴関数の連続性が保証される。
• 証明は、$\psi(t,u)$ を記述するODE系の安定性に依存しており、収束に必要な減衰を保証する。
• 結果は、OU型過程および1次元CBI過程に関する先行研究を一般化・統合し、正の成分と実成分を併せ持つ高次元状態空間への拡張を実現する。