[論文レビュー] Existence of measure-valued solutions to a complete Euler system for a perfect gas

Jan Březina|arXiv (Cornell University)|May 15, 2018

Navier-Stokes equation solutions参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、完全気体の3次元完全なEuler系に対して、2種類の異なる正則化極限手続き（粘性項の消去によるナビエ＝ストークス方程式からの極限と、散逸項の消去によるブレナーの二速度モデルからの極限）を用いて、正規化された散乱測度値（rDMV）解の存在を確立する。主な貢献は、rDMV解に対して弱解-強解一意性原理を証明し、その解が存在する場合に古典解と一致することを保証することにある。

ABSTRACT

The concept of renormalized dissipative measures-valued (rDMV) solutions to a complete Euler system for a perfect gas was introduced in [8] and further discussed in [9]. Moreover it was shown there that rDMV solutions satisfy the weak (measure--valued)--strong uniqueness principle that makes them a useful tool. In this paper we prove the existence of rDMV solutions. Namely, we formulate the complete Euler system in conservative variables usual for numerical analysis and recall the concept of rDMV solutions based on the total energy balance and renormalization of entropy inequality for the physical entropy presented in [8]. We then give two different ways how to generate rDMV solutions. First via vanishing viscosity limit using Navier-Stokes equations coupled with entropy transport and second via the vanishing dissipation limit of the two-velocity model proposed by H. Brenner. Finally, we recall the weak--strong uniqueness principle for rDMV solutions proved in [8] and [9].

研究の動機と目的

• 完全気体の完全なEuler系に対する正規化された散乱測度値（rDMV）解の存在を確立すること。
• 圧縮性Euler流れにおける振動および特異性のための弱解の不一意性の問題を扱うこと。
• ナビエ＝ストークス方程式におけるエントロピー輸送とブレナーの二速度モデルからの2つの異なる消去極限構成を提供し、rDMV解を導出すること。
• rDMV解に対して弱解-強解一意性原理を証明し、古典解が存在する場合にその解と一致することを保証すること。
• 全エネルギー保存則と正規化されたエントロピー不等式を組み合わせた測度値解の理論枠組みを拡張すること。

提案手法

• 質量、運動量、全エネルギーの保存形変数を用いて完全なEuler系を定式化し、エントロピーは正規化された不等式に従う。
• 全エネルギー保存則と、増加する凹関数χを含む正則化されたエントロピー不等式を用いてrDMV解を定義する。
• 人工的粘性とエントロピー輸送を伴うナビエ＝ストークス方程式の解の極限としてrDMV解を構成する。
• 散逸項を消去するブレナーの二速度モデルの解の極限としてrDMV解を構成する。
• 相対エネルギー推定と相対エネルギー汎関数の強制性を用いて、弱解-強解一意性原理を導出する。
• 相対エネルギー不等式に対してGronwall型の議論を適用し、rDMV解が古典解が存在する場合に空間時空でほとんど everywhere で一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ナビエ＝ストークス方程式におけるエントロピー輸送を伴う粘性項の消去極限を用いて、完全気体の完全なEuler系に対するrDMV解を構成できるか？
• RQ2 完全気体のブレナーの二速度モデルにおける散逸項の消去極限を用いてrDMV解を生成できるか？
• RQ3 完全気体の完全なEuler系の文脈において、rDMV解に対して弱解-強解一意性原理が成立するか？
• RQ4 正規化されたエントロピー不等式は、rDMV解の安定性および一意性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 全エネルギー保存則と正規化されたエントロピー不等式は、物理的に整合性のある測度値解をどのように特徴づけるか？

主な発見

• 完全気体の完全なEuler系に対するrDMV解の存在は、2つの独立した消去極限手続き（粘性項の消去と散逸項の消去）を用いて確立された。
• rDMV解は全エネルギー保存則と正規化されたエントロピー不等式を満たし、熱力学的整合性が保証される。
• 弱解-強解一意性原理が成立する：古典解が存在する場合、rDMV解は空間時空でほとんど everywhere でそれと一致する。
• rDMV解に対して導出された相対エネルギー不等式は、Gronwallの不等式を用いて誤差項を吸収可能であり、極限解の強い収束を導く。
• rDMV解の極限はDiracデルタ関数として表現され、密度、運動量、全エネルギーが古典解に強いL¹収束することを示す。
• 極限における欠損測度は消えるため、rDMV解がL¹ノルムにおいて古典解に強く収束することが確認された。