[論文レビュー] Existence of minimizers for generalized Lagrangian functionals and a necessary optimality condition - Application to fractional variational problems

Loïc Bourdin, Tatiana Odzijewicz+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 25被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、一般の線形作用素 $K$ を含む一般化されたラグランジアン関数に対する最小化子の存在の十分条件を確立し、Euler–Lagrange型の必要条件を導出する。応用として、分数階変分問題が含まれる。主な貢献は、Riemann–Liouville や Hadamard 分数積分を含む核作用素に対し、存在および最適性の結果を統一的枠組みで拡張し、変分法における分数階微積分の未解決問題を解決することにある。

ABSTRACT

We study dynamic minimization problems of the calculus of variations with generalized Lagrangian functionals that depend on a general linear operator $K$ and defined on bounded-time intervals. Under assumptions of regularity, convexity and coercivity, we derive sufficient conditions ensuring the existence of a minimizer. Finally, we obtain necessary optimality conditions of Euler-Lagrange type. Main results are illustrated with special cases, when $K$ is a general kernel operator and, in particular, with $K$ the fractional integral of Riemann-Liouville and Hadamard. The application of our results to the recent fractional calculus of variations gives answer to an open question posed in [Abstr. Appl. Anal. 2012, Art. ID 871912; doi:10.1155/2012/871912].

研究の動機と目的

• 有界時間区間における一般の線形作用素 $K$ を含む一般化ラグランジアン関数に対する最小化子の存在を保証する十分条件を確立すること。
• このような関数に対して、Euler–Lagrange 型の必要最適性条件を導出すること。
• Riemann–Liouville や Hadamard 分数積分を含む、より広いクラスの作用素へ、先行研究の分数階変分問題の結果を拡張すること。
• 一般化関数に対する最小化子の存在に関する、分数階微積分の変分法における未解決問題を解決すること。

提案手法

• 線形作用素 $K$ とラグランジアン $L$ に依存する一般化ラグランジアン関数 $\mathcal{L}$ を定式化し、$u$, $K[u]$, $\dot{u}$, $K[\dot{u}]$ に依存する可能性がある。
• $L$ に対する正則性、凸性、強制性の仮定の下で、Tonelli 型の定理を適用して最小化子の存在を確立する。
• 関数 $\mathcal{L}$ の $\mathscr{C}^\infty_{\mathrm{c}}$ 方向における微分可能性を分析することで、一般化された Euler–Lagrange 方程式を導出する。
• 固定および可変の次数を持つ Riemann–Liouville や Hadamard 分数積分を含む、$K$ が核作用素である特定のケースを検討する。
• 適用範囲を拡大するために、新たなクラス $\mathscr{P}^1_M$ および $\mathscr{P}^2_M$ を導入し、より弱い凸性および強制性の仮定を提示する。
• 微分同相による置換作用素などの非核作用素に対しても適用可能であることを示し、手法の一般性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の線形作用素 $K$ を含む一般化ラグランジアン関数が、有界区間で最小化子をもつための条件は何か？
• RQ2 このような一般化関数に対する最小化子の必要最適性条件は何か？
• RQ3 Riemann–Liouville や Hadamard 分数積分を含む分数階変分問題に対して、存在および最適性理論を拡張できるか？
• RQ4 ラグランジアンに対する仮定を弱めるにはどうすればよいか、同時に存在および最適性の結果を保持できるか？
• RQ5 核作用素を超えて、置換作用素などの他の線形作用素に対しても、この枠組みを拡張できるか？

主な発見

• 正則性、凸性、強制性の仮定の下で、ラグランジアン $L$ に対して最小化子の存在の十分条件を確立し、古典的な Tonelli 型結果を一般化した。
• 一般の線形作用素 $K$ を含む一般化ラグランジアン関数に対する最小化子に対して、Euler–Lagrange 型の必要最適性条件を導出した。
• Riemann–Liouville や Hadamard 分数積分を含む関数に対する最小化子の存在を示すことで、分数階微積分の変分法における未解決問題を解決した。
• クラス $\mathscr{P}^1_M$ および $\mathscr{P}^2_M$ を用いて、より弱い凸性および強制性の条件を導入し、特定のラグランジアンへの適用範囲を広げた。
• 微分同相による置換作用素などの非核作用素に対しても、この枠組みを拡張できることを示し、手法の一般性を実証した。
• 高階導関数、複数の作用素、多次元設定、時刻スケールに対しても適応可能であることが示され、広範な一般化可能性を示唆している。