[論文レビュー] Existence of solution for Hilfer fractional differential equations with boundary value conditions

Mohammed S. ‬Abdo, Satish K. Panchal+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2019

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Hilfer分数階微分方程式の境界値問題を、重み付き連続関数空間における等価な積分方程式に変換することにより、非線形項に強い仮定を課さずに解の存在を確立する。Schauderの、Schaeferの、およびKrasnosel’skiの不動点定理を用い、非線形項に最小限の仮定をおくことで、少なくとも1つの解の存在を証明し、より強い条件下では一意解の存在を示す。具体的な例を通じてパラメータの明示的計算による検証が行われている。

ABSTRACT

In this paper, we consider a class of nonlinear fractional differential equations involving Hilfer derivative with boundary conditions. First, we obtain an equivalent integral for the given boundary value problem in weighted space of continuous functions. Then we obtain the existence results for a given problem under a new approach and minimal assumptions on nonlinear function f. The technique used in the analysis relies on a variety of tools including Schauder, Schaefer and Krasnoselski fixed point theorems. We demonstrate our results through illustrative examples.

研究の動機と目的

• 境界条件付きHilfer分数階微分方程式の解の存在と一意性を確立すること。
• 境界値問題を重み付き連続関数空間における等価な積分方程式に還元すること。
• 非線形関数fに対して強いリプシッツ条件やコンパクト性条件を課さずに、最小限の仮定のもとで問題を分析すること。
• 工学的・応用科学分野に一般かつ効果的に適用可能な、一般的な枠組みで不動点定理を適用すること。

提案手法

• Hilfer分数階境界値問題を、重み付き空間 $ C_{n-eta}^{eta}[a,b] $ における等価な積分方程式に変換する。ここで $ \gamma = \alpha + \beta(1-\alpha) $ である。
• Schauderの、Schaeferの、およびKrasnosel’skiの不動点定理を用いて、解の存在と一意性を証明する。
• リーマン＝リウヴィル分数階積分およびミットァグ＝レフラー関数の性質を用いて積分表現を導出する。
• Arzelà-Ascoliの定理を適用して、像集合の同調和相対コンパクト性を証明する。
• ベータ関数およびガンマ関数を含む推定式を用いて、作用素の同調とコンパクト性を検証する。
• 具体的な例を通じて結果を検証する。ここで $ \alpha = \frac{1}{2}, \beta = \frac{1}{3} $、および $ f(t,z) = t^{-1/6} + \frac{1}{16}t^{5/6}\sin z(t) $ である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形関数 $ f $ に対して、Hilfer分数階微分方程式の境界条件付きで解が存在するための最小限の条件は何か？
• RQ2 境界値問題は、重み付き関数空間における等価な積分方程式にどのように還元できるか？
• RQ3 強いリプシッツ条件やコンパクト性仮定を要しない状況で、解の存在と一意性を証明するために効果的に適用可能な不動点定理は何か？
• RQ4 Hilfer微分の文脈において、非局所的および積分型境界条件へその結果を拡張できるか？
• RQ5 特定のパラメータ値とノルムは、具体的な例における解の存在と一意性にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 問題は重み付き空間 $ C_{n-eta}^{eta}[a,b] $ における等価な積分方程式に還元され、不動点理論の適用が可能になる。
• Krasnosel’skiの不動点定理を用いて、同調性と相対コンパクト性に依拠して、少なくとも1つの解の存在が証明された。
• 非線形関数 $ f $ に対するリプシッツ条件と、パラメータを含む特定の不等式が満たされれば、一意解が存在する。例では $ \mathcal{W} \simeq 0.14 < 1 $ および $ \mathcal{G} \simeq 0.19 < 1 $ である。
• $ \alpha = \frac{1}{2}, \beta = \frac{1}{3} $ の例は、(H1)、(H2)、(H3)、および(H4)-(H5)のすべての条件を満たしており、数値的にすべての主要な不等式が成立していることを確認している。
• 解は空間 $ C_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}([0,1]) $ に属しており、弱特異非線形性を有する問題への適用可能性が示されている。
• 本フレームワークは一般的かつ効果的であり、非線形関数 $ f $ に強い仮定を課さないため、工学的・応用科学分野への応用が可能である。