[論文レビュー] Existence of solutions for a class of nonlinear Choquard equations with critical growth

Yong Ao|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$N \geq 4$ の $[\mathbb{R}^N$ における臨界成長を示す非線形チョウカルド方程式のクラスに対して、変分法およびネハリ多様体技術を用いて非自明解の存在を確立する。主な結果として、非局所項と臨界的でない項を含む制約付き最小化問題の最小化子の存在が、$p = \frac{N+\alpha}{N-2}$ および $2 < q < 2^*$ の条件下で証明され、臨界成長領域における解の存在問題が解決される。

ABSTRACT

In this paper, we consider a class of nonlinear Choquard equations with critical growth, and we show the existence of solutions of the equations. Besides, we consider the corresponding minimizing problem and prove the existence of a minimizer.

研究の動機と目的

• 非線形チョウカルド方程式の臨界成長を示すクラスについて、$\mathbb{R}^N$（$N \geq 4$）における非自明解の存在を確立すること。
• 方程式に関連するエネルギー汎関数の構造を分析すること、特に非局所項 $(I_\alpha * |u|^p)|u|^{p-2}u$ と臨界的でない項 $|u|^{q-2}u$ 間の相互作用に注目すること。
• ネハリ多様体と回転対称性を用いた制約付き最小化問題の最小化子の存在を証明すること、臨界成長条​​件のもとで行う。
• 非局所項と臨界的でない項が共存することにより、標準的なスケーリング論法が最小エネルギー解を導けないという、スケーリング不変性の欠如に起因する困難を克服すること。

提案手法

• エネルギー汎関数 $I(u)$ を $H^1(\mathbb{R}^N)$ 上で定義し、変分法を用いてその臨界点を求める。
• ネハリ多様体を用いて、解のエネルギーレベルを特徴づけ、この多様体上で汎関数が下から有界であることを保証する。
• 非局所項、臨界的でない項、$L^2$-項を組み合わせた $H(u)$ を用いた制約 $H(u) = 1$ の下で、ディリクレエネルギー $T(u) = \int |\nabla u|^2 dx$ の最小化問題を定式化する。
• 関数のシュワルツ球面順序を用いて回転対称性を活用し、回転対称な最小化列を構成する。
• 収束性とノルム推定の処理に、ブレジス＝リーブの補題およびハーディー＝リトルウッド＝ソボレフの不等式を適用する。
• 関数のスケーリング $u_\sigma(x) = u(x/\sigma)$ における汎関数の性質に基づく背理法を用いて、弱収束における消滅または二分の可能性を除外し、非自明な最小化子の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形チョウカルド方程式が臨界成長 $p = \frac{N+\alpha}{N-2}$ と臨界的でない $q$-成長を示す場合、$\mathbb{R}^N$（$N \geq 4$）において非自明解を有するか？
• RQ2 非局所項と臨界的でない項を含む制約付き最小化問題において、混合成長型のためスケーリング論法が失敗した場合でも、最小化子を特定できるか？
• RQ3 非局所項と臨界的でない項が共存し、問題のスケーリング不変性を破る場合、濃縮・コンパクトネス構造はどのように変化するか？
• RQ4 これらの条件下で、ネハリ多様体アプローチが、臨界成長領域における基底状態解の存在を保証するのに十分か？
• RQ5 標準的なスケーリング法が最小エネルギー解を生成できない場合でも、最小化子が回転対称かつ非自明であることを示せるか？

主な発見

• $N \geq 5$ かつ $2 < q < 2^*$、または $N = 4$ かつ $3 < q < 4$ の場合、方程式 $-\Delta u + u = (I_\alpha * |u|^p)|u|^{p-2}u + |u|^{q-2}u$ は $\mathbb{R}^N$ において非自明解を有する。
• 制約付き最小化問題 $A = \inf \left\{ \frac{1}{2}\int |\nabla u|^2 dx : H(u) = 1 \right\}$ は、$H^1_{\text{rad}}(\mathbb{R}^N)$ 内に最小化子を有する。ここで $H(u)$ は非局所項、臨界的でない項、$L^2$-項を組み合わせたものである。
• 最小化子 $u_0$ は回転対称かつ非自明であり、消滅および二分の可能性をスケーリング論法により除外する背理法によってその存在が証明される。
• 非局所項と臨界的でない項の共存によりスケーリング不変性が失われるため、標準的なスケーリング法では最小エネルギー解を導けないが、コンパクト性および変分解析により最小化子は依然として存在する。
• 証明は、最小化列の回転対称性、ノルム収束のためのブレジス＝リーブの補題、非局所項の制御のためのハリー＝リトルウッド＝ソボレフの不等式に依存する。
• $\lambda_0 = 0$ の場合の背理は、関数制約から導かれる $\|v_n\|_{2^*}$ の下界に起因し、ソボレフ定数 $S$ と矛盾する。