[論文レビュー] Existence of solutions for critical Choquard equations via the concentration compactness method

Fashun Gao, Edcarlos D. da Silva+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 26被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、非局所的グローバルコンパクト性補題と集中・拡散の原理を用いて、符号変化するポテンシャルを有する臨界チョクルード方程式の解の存在を確立する。ハーディー＝リトルウッド＝ソボレフの不等式と変分法を活用し、ベンチ＝セラミ条件の下で、マウンテン・パス型解および高エネルギー解の存在を証明し、非局所問題におけるコンパクト性の喪失を解消する。

ABSTRACT

In this paper we consider the nonlinear Choquard equation $$ -Δu+V(x)u =\left(\int_{\mathbb{R}^N}\frac{G(y,u)}{|x-y|^μ}dy ight)g(x,u)\hspace{4.14mm}\mbox{in}\hspace{1.14mm} \mathbb{R}^N, $$ where $0

研究の動機と目的

• 符号変化するポテンシャルを有する臨界チョクルード方程式に対するマウンテン・パス型解の存在を確立すること。
• 非局所方程式における臨界成長の下でベンチ＝セラミ条件の下に高エネルギー解の存在を証明すること。
• 非局所項と臨界非線形性のためのエネルギー汎関数におけるコンパクト性の喪失を克服すること。
• 集中・拡散の原理とグローバルコンパクト性技術を用いて、変分法を臨界チョクルード方程式へ拡張すること。
• パライス＝スモールドリュー列の挙動を分析し、特定のエネルギー水準における非自明な臨界点の存在を証明すること。

提案手法

• 非局所チョクルード項におけるソボレフ埋め込みのコンパクト性欠如を扱うために、集中・拡散の原理を適用する。
• ハーディー＝リトルウッド＝ソボレフの不等式を用いて、臨界成長を有する畳み込み項 $ \int_{\mathbb{R}^N} \frac{G(y,u)}{|x-y|^\mu} dy $ の適切な定義を正当化する。
• ベンチとセラミにインspiredされた非局所グローバルコンパクト性補題を実装し、パライス＝スモールドリュー列における消滅および二分の現象を制御する。
• 自然な制約 $ \mathcal{M} $ 上に汎関数 $ P(u) $ を定義し、ミニマックス法を用いて臨界点を求める。
• マウンテン・パス定理の幾何的条件を満たすテスト関数 $ \varphi_{\delta,z} $ の族を構成する。
• 変形補題と背理法を用いて、下界 $ c $ が達成されることを示し、臨界点が得られることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 符号変化するポテンシャルを有する臨界チョクルード方程式に対して、集中・拡散法を適応して解の存在を証明できるか？
• RQ2 チョクルード項の非局所性がエネルギー汎関数におけるコンパクト性を妨げ、その障害を克服できるか？
• RQ3 臨界チョクルード方程式に対して高エネルギー解が存在する条件は何か？
• RQ4 ベンチ＝セラミのグローバルコンパクト性フレームワークを、臨界成長を有する非局所方程式へ拡張できるか？
• RQ5 ミニマックススキームにおける下界 $ c $ は達成可能か？これは非自明な解の存在を示唆する。

主な発見

• 本稿では、集中・拡散の原理を用いて、符号変化するポテンシャルを有する臨界チョクルード方程式に対するマウンテン・パス解の存在を証明する。
• エネルギー水準 $ c $ が $ S_{H,L} < c^\star < 2^{\frac{N+2-\mu}{2N-\mu}} S_{H,L} $ を満たすことが確立され、非自明な臨界水準が保証される。
• 非局所グローバルコンパクト性補題とベンチ＝セラミ条件を用いて、高エネルギー解の存在が証明される。
• 臨界水準 $ c $ は達成可能であり、$ K_c \neq \emptyset $ であるため、$ P(u) = c $ を満たす非自明な解が存在する。
• 証明は、重要な幾何的性質および減衰性を満たすテスト関数 $ \varphi_{\delta,z} $ の族の構成に依存する。
• 変形補題と背理法により、ミニマックス水準が実際に臨界水準であることが確認され、コンパクト性の問題が解決される。