[論文レビュー] Ground states and semiclassical states of nonlinear Choquard equations involving Hardy-Littlewood-Sobolev critical growth

Daniele Cassani, Jianjun Zhang|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 31被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、ハーディー＝リトルウッド＝ソボレフ臨界成長を有する非線形チョウカールド方程式に対して、基底状態および半古典的状態の存在を確立する。切断法と変分法を用いて、プランク定数が0に近づく際、シュレーディンガー型ポテンシャルの極小値に集中する単一ピーク解の存在を証明するが、単調性条件やアムブロセッティ＝ラビノウィッツ条件を必要としない。

ABSTRACT

We are concerned with the existence of ground states for nonlinear Choquard equations involving a critical nonlinearity in the sense of Hardy-Littlewood-Sobolev. Our result complements previous results by Moroz and Van Schaftingen where the subcritical case was considered. Then, we focus on the existence of semi-classical states and by using a truncation argument approach, we establish the existence and concentration of single peak solutions concentrating around minima of the Schrödinger potential, as the Planck constant goes to zero. The result is robust in the sense that the nonlinearity is not required to satisfy monotonicity conditions nor the Ambrosetti-Rabinowitz condition.

研究の動機と目的

• ハーディー＝リトルウッド＝ソボレフ臨界非線形性を有する非線形チョウカールド方程式に対する基底状態解の存在を確立すること。
• プランク定数が0に近づく極限における半古典的状態の存在および集中を調査すること。
• 非線形性において単調性条件やアムブロセッティ＝ラビノウィッツ条件を必要としないこと。
• ハーディー＝リトルウッド＝ソボレフ不等式の意味で、従来の亜臨界領域から臨界成長領域への結果の拡張。

提案手法

• 臨界非線形性を取り扱うために、$ f_k(t) = \min\{f(t), k\} $ として有界な切断 $ f_k $ を定義する切断技術を採用する。
• コンパクト性とマウンテンパス構造を活用して、切断問題に対する解の存在を変分法によって証明する。
• 局所的楕円型推移と収束議論を用いて、切断問題の解が十分に小さい $ \varepsilon $ に対して元の方程式を満たすことを示す。
• 集中・コンパクトネス議論とスケーリングを用いて、$ \varepsilon \to 0 $ における解の漸近的挙動を分析する。
• 局所的正則性推移を適用できるように、$ I_\alpha \ast F_k(w_\varepsilon) $ が $ L^\infty $ で一様有界であるという事実を活用する。
• ポテンシャル $ V $ の極小値を中心にした近似解の族 $ U_\varepsilon^x $ を構成し、極限において基底状態に収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハーディー＝リトルウッド＝ソボレフ臨界成長を有する非線形チョウカールド方程式に対して、基底状態解が存在するか？
• RQ2 プランク定数 $ \varepsilon \to 0 $ の極限において、シュレーディンガー型ポテンシャルの極小値に集中する半古典的解を構成できるか？
• RQ3 非線形性において単調性やアムブロセッティ＝ラビノウィッツ条件が欠落している場合でも、解の存在は保たれるか？
• RQ4 条件 $ f(t)/t^{(\alpha+2)/(N-2)} \to 1 $ が存在性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 切断法は、元の非線形性に対する解を、切断問題の解からどのように回復可能にするのか？

主な発見

• 任意の $ \alpha \in ((N-4)_+, N) $ および $ q > \max\left\{1 + \frac{\alpha}{N-2}, \frac{N+\alpha}{2(N-2)}\right\} $ に対して、条件 (F1)–(F3) の下で方程式は基底状態解を有する。
• 基底状態の存在は (F1) と (F2) のみでは保証されない。反例により、非自明な解が存在しない場合があることが示されたため、(F3) が本質的である。
• 半古典的解は存在し、$ \varepsilon \to 0 $ の際にポテンシャル $ V $ の極小値に集中する。ピークの位置は $ \mathcal{M} $、すなわちポテンシャルの極小値集合に収束する。
• $ \varepsilon $ が十分に小さいとき、切断問題の解 $ v_\varepsilon $ は $ \|v_\varepsilon\|_\infty < \kappa $ を満たし、これにより元の方程式を満たすことが保証される。
• スケーリングされた解 $ w_\varepsilon(y) = v_\varepsilon(\varepsilon y + x_\varepsilon) $ は $ \varepsilon \to 0 $ の際に $ H^1(\mathbb{R}^N) $ 内で基底状態 $ U(\cdot + z_0) $ に収束する。
• 本手法は頑健である。非線形性がアムブロセッティ＝ラビノウィッツ条件や単調性仮定を満たさなくてもよい。