[論文レビュー] Existence of solutions for critical Choquard problem with singular coefficients

Yang Yang, Yuling Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|May 21, 2019

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特異係数および臨界Hardy-Sobolev指数を有する分数階Choquard方程式に対して、変分法およびNehari多様体技法を用いて正の解および符号変化解の存在を確立する。Hardy-Littlewood-Sobolev不等式およびエネルギー汎関数の解析を活用し、適切なパラメータ制約のもとで最小エネルギー符号変化解の存在を証明する。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the following fractional Choquard type equation: \[ (- Δ)_p^s\, u = λ\frac{|u|^{r-2}u}{|x|^α}\,+γ\big(\int_Ω\frac{|u|^q}{|x-y|^μ}dy\big) |u|^{q-2}u \ \ ext{in } Ω,\ \ u = 0 \ ext{in } \R^N \setminus Ω, \] where $Ω$ is a bounded domain in $\R^N$ with Lipschitz boundary, $p>1$, $0sp$, $0\leqα\leq sp$, $00$, $p\leq r\leq p^*_α$, $p\leq 2q\leq 2p_{μ,s}^*$, $p_α^*=\frac{(N-α)p}{N-sp}$ and $p_{μ,s}^*=\frac{(N-\fracμ{2})p}{N-sp}$ are the fractional critical Hardy-Sobolev and the critical exponents in the sense of Hardy-Littlewood-Sobolev inequality, respectively. Under some suitable assumptions, positive and sign-changing solutions are obtained.

研究の動機と目的

• 特異係数およびHardy型ポテンシャルを含む下位項を有する臨界定数分数階Choquard方程式の解の存在を調査すること。
• 非局所相互作用を伴う臨界定数問題に関する先行研究を、特異係数およびChoquard型非線形性を併せ持つ場合にまで拡張すること。
• 符号変化Nehari多様体上での最小化を通じて最小エネルギー符号変化解の存在を確立すること。
• 分数階$p$-ラプラシアンおよびHardy-Littlewood-Sobolev埋め込みに関連する制約のもとでエネルギー汎関数の挙動およびその臨界点を分析すること。
• 臨界定数および特異重みを伴う状況において、Palais-Smale系列のコンパクト性および収束性の性質を証明すること。

提案手法

• 超特異積分表現を用いて定義される分数階$p$-ラプラシアン作用素$(-\Delta)_p^s$を用いる。
• エネルギー汎関数の臨界点を特定するためにNehari多様体法を用いる。
• 非局所的Choquard項（Riesz作用素を含む）を制御するためにHardy-Littlewood-Sobolev不等式を適用する。
• 重み付き分数階Sobolev空間$W_0^{s,p}(\Omega)$におけるPalais-Smale系列の有界性および弱収束性を確立する。
• 濃縮-コンパクトネスの議論およびノルムの厳密な強凸性を用いて、最小化系列の強い収束性を証明する。
• 度数論およびホモトピー不変性を用いて、Nehari集合上で背理法により符号変化臨界点の存在を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異係数および臨界Hardy-Sobolev成長を有する分数階Choquard方程式が正の解を有するための条件は何か？
• RQ2 符号変化Nehari多様体上でのエネルギー汎関数が最小値に達する可能性はあるか？
• RQ3 パラメータ$\lambda$は、特に臨界閾値$S_{sp,p}$付近において、解の存在および多重性にどのような役割を果たすか？
• RQ4 Riesz作用素項$\int_\Omega \frac{|u|^q}{|x-y|^\mu} dy$の存在が、Palais-Smale系列のコンパクト性にどのように影響するか？
• RQ5 非線形項に特異項および臨界定数項の両方を含む場合、最小エネルギー符号変化解を構成することは可能か？

主な発見

• 本稿は、分数階Hardy-Sobolev不等式における鋭い定数$S_{sp,p}$を用いて、$\lambda < S_{sp,p}$の条件下で、特異係数を有する臨界定数Choquard問題に対して少なくとも1つの正の解の存在を証明する。
• 符号変化Nehari多様体$\mathscr{N}_{sc}$上でのエネルギー汎関数の最小化を通じて、最小エネルギー符号変化解の存在を確立する。
• 符号変化問題の最小化系列は$W_0^{s,p}(\Omega)$において強い収束性を示し、正部および負部の両方で恒等的にゼロでない弱解の存在を保証する。
• 最小化によって得られた解$v$は$\langle J'(v), v^\pm \rangle = 0$を満たし、エネルギー汎関数の臨界点であることが確認される。
• 著者らは、符号変化解に関連するエネルギー準位$c_2$が、2倍の基底状態エネルギー準位を厳密に下回ることを示しており、非自明性および正の解のエネルギー準位とは明確に異なることを示している。
• 非局所項$\gamma \int\!\!\int \frac{|v^\pm|^q |v|^q}{|x-y|^\mu} dxdy$の極限が厳密に正であることに依拠しており、これにより$v$が本質的に符号変化的であり、相互作用が消える正負部分の和ではないことが保証される。