[論文レビュー] Existence of Stein Kernels under a Spectral Gap, and Discrepancy Bound

Thomas A. Courtade, Max Fathi+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2017

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 33被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、変分法を用いて、ℝᵈ 上の確率測度がPoincaré不等式を満たす場合に、Steinカーネルの存在を確立する。次に、次元に依存しないStein散逸度の境界を導出し、中心極限定理に沿ってStein散逸度が厳密に減少することを証明し、歪度を制御することを示す。これにより、次元に依存する最適性を備えた多変量中心極限定理におけるWasserstein距離W₂における最適収束速度が得られる。

ABSTRACT

We establish existence of Stein kernels for probability measures on $\mathbb{R}^d$ satisfying a Poincaré inequality, and obtain bounds on the Stein discrepancy of such measures. Applications to quantitative central limit theorems are discussed, including a new CLT in Wasserstein distance $W_2$ with optimal rate and dependence on the dimension. As a byproduct, we obtain a stability version of an estimate of the Poincaré constant of probability measures under a second moment constraint. The results extend more generally to the setting of converse weighted Poincaré inequalities. The proof is based on simple arguments of calculus of variations. Further, we establish two general properties enjoyed by the Stein discrepancy, holding whenever a Stein kernel exists: Stein discrepancy is strictly decreasing along the CLT, and it controls the skewness of a random vector.

研究の動機と目的

• 任意の次元におけるSteinカーネルの存在の十分条件を確立すること。
• Poincaré不等式を満たす測度に対して、次元に依存しないStein散逸度の境界を導出すること。
• Steinカーネルが存在する場合に、中心極限定理に沿ってStein散逸度が厳密に減少することを示すこと。
• Stein散逸度が確率ベクトルの歪度を制御することを証明すること。
• Poincaré不等式の下で、多変量中心極限定理におけるWasserstein距離W₂における最適収束速度を求めること。

提案手法

• Poincaré不等式の下で、変分法を用いてSteinカーネルの存在を証明する。
• 式(1)の部分積分公式を適用し、Hilbert-Schmidt内積を用いてSteinカーネルを定義する。
• Poincaré定数と2次のモーメントに依存するが、次元に依存しない形でStein散逸度の境界を導出する。
• Ornstein-Uhlenbeck半群の性質を用いて、中心極限定理に沿ったStein散逸度の単調性を確立する。
• Stein散逸度とW₂距離の関係を用いて、Poincaré定数の安定性評価を導出する。
• Hölderの不等式と双対性を用いて、逆加重Poincaré不等式へと結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℝᵈ 上の確率測度に対して、どのような条件下でSteinカーネルが存在するか？
• RQ2 Poincaré不等式を満たす測度に対して、次元に依存しない形でStein散逸度を境界づけられるか？
• RQ3 Steinカーネルが存在する場合に、中心極限定理に沿ってStein散逸度が単調に減少するか？
• RQ4 Stein散逸度を用いて確率ベクトルの歪度を制御できるか？
• RQ5 Poincaré不等式の下で、多変量中心極限定理におけるWasserstein距離W₂の最適収束速度は何か？

主な発見

• Poincaré不等式を満たす任意のℝᵈ 上の確率測度に対して、Steinカーネルが存在する。これは[42]における未解決問題を解決する。
• 中心極限定理に沿って、Stein散逸度は厳密に減少する。エントロピーとフィッシャー情報と同様の性質である。
• Stein散逸度は確率ベクトルの歪度を制御し、非正規性の定量的測度を提供する。
• 本稿では、多変量中心極限定理におけるW₂収束速度がO(1/n)のオーダーであることを確立し、これは最適かつ次元に依存する。
• 2次のモーメント正規化の下で、Poincaré定数の安定的下界が導出される：Cₚ ≥ 1 + W₂(ν, γ)²/d。
• 結果は、LᵖおよびL^qノルムを用いた重み関数の一般化を伴う逆加重Poincaré不等式へと拡張可能である。