[論文レビュー] Existence of weak solutions to multiphase Cahn–Hilliard–Darcy and Cahn–Hilliard–Brinkman models for stratified tumor growth with chemotaxis and general source terms

Patrik Knopf, Andrea Signori|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 97被引用数 25

ひとこと要約

本稿は、栄養素や酸素などの複数の細胞タイプと化学種を含む、栄養摂取とキモタクシスを伴う分層化した腫瘍成長をモデル化する、多相 Cahn–Hilliard–Darcy および Cahn–Hilliard–Brinkman 系に対して、グローバル弱解の存在を確立する。モデルは腫瘍細胞と健康な細胞をフェーズフィールド関数で表現し、腫瘍の進化を Cahn–Hilliard 方程式と栄養素の反応拡散方程式を結合することで記述する。主な結果は、可撓性のない流れの極限を用いたアプローチにより、Brinkman 型および Darcy 型の両方の定式化に対して弱解の存在を厳密に証明することにある。

ABSTRACT

We investigate a multiphase Cahn–Hilliard model for tumor growth with general source terms. The multiphase approach allows us to consider multiple cell types and multiple chemical species (oxygen and/or nutrients) that are consumed by the tumor. Compared to classical two-phase tumor growth models, the multiphase model can be used to describe a stratified tumor exhibiting several layers of tissue (e.g., proliferating, quiescent and necrotic tissue) more precisely. Our model consists of a convective Cahn–Hilliard type equation to describe the tumor evolution, a velocity equation for the associated volume-averaged velocity field, and a convective reaction-diffusion type equation to describe the density of the chemical species. The velocity equation is either represented by Darcy’s law or by the Brinkman equation. We first construct a global weak solution of the multiphase Cahn–Hilliard–Brinkman model. After that, we show that such weak solutions of this system converge to a weak solution of the multiphase Cahn–Hilliard–Darcy system as the viscosities tend to zero in some suitable sense. This means that the existence of a global weak solution to the Cahn–Hilliard–Darcy system is also established.

研究の動機と目的

• 従来の二相モデルよりも、増殖層、静止層、壊死層を有する分層組織をより正確に捉える多相数学的モデルの構築。
• 拡散界面枠組み内でのキモタクシス、栄養素の消費、一般化された源項の統合。
• Cahn–Hilliard–Brinkman および Cahn–Hilliard–Darcy システムの両方に対して、グローバル弱解の厳密な存在の確立。
• 粘性がゼロに近づく際、Brinkman モデルの弱解が Darcy モデルの弱解に収束することの証明。
• 複雑な組織不均一性を有する患者特異的腫瘍成長シミュレーションの理論的基盤の提供。

提案手法

• L 個の腫瘍細胞タイプと M 個の化学種（例：酸素、栄養素）を有する多相 Cahn–Hilliard システムを、フェーズフィールド関数 ϕ と σ を用いて定式化する。
• 腫瘍の進化を記述する Cahn–Hilliard 方程式と栄養素のダイナミクスを記述する反応拡散方程式を結合する。
• 体積平均速度 v は、粘性を伴う Brinkman の法則または粘性のない Darcy の法則に従い、流体的および多孔質媒体的腫瘍ダイナミクスを可能にする。
• Sobolev 空間におけるテスト関数を用いた変分定式化により、弱解を導出する。
• 消える粘性極限技術を適用：Brinkman モデルの解を構築し、粘性 → 0 の極限に移行することで Darcy モデルの解を回復する。
• コンパクト性の議論、弱収束、および事前推定を用いて非線形項における極限への移行を実現し、初期条件を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多相 Cahn–Hilliard モデルは、複数の細胞タイプと化学種を伴う分層化腫瘍成長を正確に記述できるか？
• RQ2 一般化された源項とキモタクシスを伴う Cahn–Hilliard–Brinkman システムは、グローバル弱解を有するか？
• RQ3 粘性がゼロに近づく際、Cahn–Hilliard–Brinkman モデルの弱解は、Cahn–Hilliard–Darcy モデルの弱解に収束するか？
• RQ4 粘性が無視できる場合、腫瘍成長モデルにおいて Darcy の法則を用いる数学的根拠は何か？
• RQ5 一般化された源項とキモタクシス効果は、腫瘍ダイナミクスの拡散界面枠組みに一貫して統合可能か？

主な発見

• 一般化された源項とキモタクシスを伴う多相 Cahn–Hilliard–Brinkman システムに対して、グローバル弱解の存在が厳密に確立された。
• 粘性が適切な意味でゼロに近づく際、Cahn–Hilliard–Brinkman システムの弱解は、Cahn–Hilliard–Darcy システムの弱解に収束する。
• 極限過程は、速度の発散なしの条件や、Cahn–Hilliard 方程式が支配する界面ダイナミクスといった、システムの構造を保持する。
• 初期条件は極限においても保持され、解が弱い意味で ϕ|t=0 = ϕ₀ および σ|t=0 = σ₀ を満たすことが保証される。
• 境界上での圧力場 p|Σ = 0 がほとんど至る所で成り立つことが示され、Darcy 型運動量方程式との整合性が確認された。
• 本手法は、生物学的特徴が現実的である複雑な多相腫瘍微小環境への拡散界面モデルの拡張に、堅牢な解析的フレームワークを提供する。