[論文レビュー] Existence results for fractional p-Laplacian problems via Morse theory

Antonio Iannizzotto, Shibo Liu+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 24被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、モース理論と変分法を用いて、分数階pラプラシアン問題の弱解の存在および多重性を確立する。非線形項の成長条件が異なる場合、非自明な解が少なくとも1つ存在することを証明し、強制的（coercive）な場合、臨界群解析と位相的道具を用いて、有限個の解が存在することを示す。

ABSTRACT

We investigate a class of quasi-linear nonlocal problems, including as a particular case semi-linear problems involving the fractional Laplacian and arising in the framework of continuum mechanics, phase transition phenomena, population dynamics and game theory. Under different growth assumptions on the reaction term, we obtain various existence as well as finite multiplicity results by means of variational and topological methods and, in particular, arguments from Morse theory.

研究の動機と目的

• 分数階pラプラシアンを含む非局所的準線形問題のクラスについて、解の存在および多重性を確立すること。
• 反応項 $f(x,u)$ について、$p$-超線形、強制的、漸近的に $p$-線形な場合を含む、さまざまな成長仮定の下で問題を分析すること。
• 強制的設定における解の有限多重性を、モース理論および臨界群技術を用いて導出すること。
• 星型領域における有界解について、一般化されたポホジャエフ型恒等式を用いて非存在性を調べること。
• 古典的分数階ラプラシアンの枠組みを超える非局所的・非線形作用素に対し、変分的および位相的手法を拡張すること。

提案手法

• 領域 $\Omega$ 外で境界値がゼロとなる空間 $X(\Omega) = W^{s,p}({\mathbb{R}}^N)$ において問題を変分的に定式化し、エネルギー汎関数 $\Phi(u) = \frac{1}{p}[u]_{s,p}^p - \int_{{\mathbb{R}}^N} F(u)\,dx$ を定義する。
• 臨界点理論およびモース理論を用いて、ゼロおよび無限大における臨界群を通じて、部分レベル集合の位相的性質を分析する。
• Pohožaev恒等式 (7.4) を適用して、星型領域における正または非ゼロ有界解の非存在性を導出する。
• デ・ジョルジ型反復法および切り詰め技術を用いて、弱解に対する $L^\infty$-バウンドを確立する。
• パス $\gamma_u(\theta) = u(\theta x)$ におけるスケーリング論法を用いて、一般化されたPohožaev恒等式を導出する。
• 作用素 $(-\Delta)_p^s$ の固有値問題および変分的固有値を用いて、汎関数フレームワークにおける強制性およびコンパクト性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形項 $f(x,u)$ がどのような成長条件を満たす場合に、分数階 $p$-ラプラシアン問題が少なくとも1つの非自明な弱解をもつのか。
• RQ2 モース理論は、分数階 $p$-ラプラシアンにおける強制的設定で、解の有限多重性をどのように確立できるか。
• RQ3 ポホジャエフ型恒等式は、分数階 $p$-ラプラシアン問題における非自明な有界解の排除に果たす役割は何か。
• RQ4 弱解の正則性および有界性の性質は、変分的および位相的手法の適用性にどのように影響を与えるか。
• RQ5 非局所的性質を有する $(-\Delta)_p^s$ は、適切なスケーリングおよび試験関数の選択により、古典的ポホジャエフ恒等式と整合することができるか。

主な発見

• $p$-超線形非線形項の場合、マウンテンパス定理およびモース理論を用いて、非自明な弱解の存在が証明される。
• 強制的状況では、臨界群の解析および部分レベル集合の位相的性質の分析を通じて、有限個の弱解が存在することが示される。
• デ・ジョルジ型反復法を用いて、弱解に対する $L^\infty$-バウンドが得られ、正則性が保証され、さらなる解析が可能になる。
• 有界弱解に対して一般化されたポホジャエフ恒等式 (7.4) が確立され、境界積分項が $\partial\Omega$ からの距離に依存する。
• 星型領域および $r \geq p^*_s$ の下で、$f(t) = |t|^{r-2}t$ かつ $r > p^*_s$ の場合、非ゼロ有界解は存在しない。これは、超臨界非線形項における非存在性を確認するものである。
• 恒等式 (7.4) は、$p=2$ の半線形状況において既知の形に還元されることを示し、線形分数階設定における手法の妥当性が裏付けられる。