[論文レビュー] Existence, uniqueness and approximation for stochastic Schrodinger equation: the Poisson case

Clément Pellegrini|ArXiv.org|Sep 24, 2007

Quantum Mechanics and Applications参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、確率測度論と離散的量子反復相互作用モデルを用いて、ポアソン過程によって駆動される確率的シュレーディンガー方程式の解の存在、一意性、弱収束を確立する。連続的なジャンプ型量子軌道が、明確な離散時間物理的モデルの極限として得られることを証明し、ランダム結合極限法を用いてベルアフギンのジャンプ方程式を厳密に裏付ける。

ABSTRACT

In quantum physics, recent investigations deal with the so-called "quantum trajectory" theory. Heuristic rules are usually used to give rise to "stochastic Schrodinger equations" which are stochastic differential equations of non-usual type describing the physical models. These equations pose tedious problems in terms of mathematical justification: notion of solution, existence, uniqueness, justification... In this article, we concentrate on a particular case: the Poisson case. Random measure theory is used in order to give rigorous sense to such equations. We prove existence and uniqueness of a solution for the associated stochastic equation. Furthermore, the stochastic model is physically justified by proving that the solution can be obtained as a limit of a concrete discrete time physical model.

研究の動機と目的

• ジャンプ型ノイズを伴う確率的シュレーディンガー方程式、特にベルアフギンのジャンプ方程式の厳密な数学的基盤を提供すること。
• 解のパスに依存する強度を持つ駆動過程を伴うジャンプ型方程式における解の定義に関する曖昧さを解消すること。
• 連続的ジャンプモデルが、物理的に実現可能な離散時間量子反復測定プロセスの極限として得られることを正当化すること。
• 確率測度論とパスごとの解析を用いて、弱解の存在と一意性を確立すること。
• 離散的量子軌道が、D([0,T]) 上で分布収束するように、連続的量子軌道に収束することを証明すること。

提案手法

• 状態依存的強度を克服するため、確率的積分を厳密に定義するためにランダムポアソン測度論を用いる。
• 離散的および連続的量子軌道を比較するためのランダム結合極限法を適用し、収束解析を可能にする。
• 各系が時間 h にわたりアダルフィナの鎖と相互作用する、再正規化された相互作用モデルを量子反復相互作用フレームワークで採用する。
• ジャンプ方程式のための離散Eulerスキームを構築し、新規の離散グロワールド型不等式を用いて収束を証明する。
• 条件付き期待値とモーメントの上限を用いて、離散的および連続的プロセスの差を制御する。
• Eulerスキームのバウンドと極限プロセスの収束を組み合わせることで、スコロホド空間 D([0,T]) 上での分布収束を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 状態依存的強度を持つ駆動過程を伴うジャンプ型ノイズを伴う確率的シュレーディンガー方程式に対して、厳密な確率的枠組みを構築可能か？
• RQ2 ポアソン過程駆動のベルアフギンのジャンプ方程式に対して、弱解が存在し、それが一意的か？
• RQ3 連続的ジャンプモデルが、明確な離散的物理的モデル（反復量子測定）の極限として得られるか？
• RQ4 古典的確率的積分理論が失敗する状況で、離散的量子軌道が連続的解に収束することを証明するために必要な数学的技法は何か？
• RQ5 ジャンプ過程に対してカートス＝プロッター型の収束結果が得られない状況で、収束をどのように確立できるか？

主な発見

• ランダムポアソン測度論を用いて、ポアソン過程駆動の確率的シュレーディンガー方程式に対する弱解の存在と一意性が厳密に確立された。
• スピン鎖との反復的相互作用と離散的測定に基づく離散的量子軌道モデルが、D([0,T]) 上で連続的量子軌道に分布収束することが示された。
• 新規の離散グロワールド型不等式を用いて、ジャンプ方程式の離散Eulerスキームの収束が証明され、誤差は O(1/n) で抑えられることが示された。
• 収束結果は、強度の非マルコフ性にもかかわらず、離散的および連続的ダイナミクスを比較可能にするランダム結合極限法に依存している。
• 解が、長年のヒューリスティックな導出を解消する、物理的に妥当な具体的な物理モデルの極限として正当化された。
• 任意の有限区間 [0,T] において、時間に一様に収束し、n が大きい場合に誤差が O(1/n) で減少することが示された。