[論文レビュー] Existence, uniqueness, and global regularity for degenerate elliptic obstacle problems in mathematical finance

Panagiota Daskalopoulos, Paul M. N. Feehan|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 53被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、金融数学におけるHeston確率的ボラティリティモデルに由来する退化楕円型障害問題の解の存在、一意性、およびグローバルな正則性を確立する。重み付きソボレフ空間を用いて、半平面内の非有界領域における退化楕円型Heston作用素に関連する変分不等式および障害問題の解について、$ H^2 $および Hölder 正則性を証明する。

ABSTRACT

The Heston stochastic volatility process, which is widely used as an asset price model in mathematical finance, is a paradigm for a degenerate diffusion process where the degeneracy in the diffusion coefficient is proportional to the square root of the distance to the boundary of the half-plane. The generator of this process with killing, called the elliptic Heston operator, is a second-order degenerate elliptic partial differential operator whose coefficients have linear growth in the spatial variables and where the degeneracy in the operator symbol is proportional to the distance to the boundary of the half-plane. With the aid of weighted Sobolev spaces, we prove existence, uniqueness, and global regularity of solutions to stationary variational inequalities and obstacle problems for the elliptic Heston operator on unbounded subdomains of the half-plane. In mathematical finance, solutions to obstacle problems for the elliptic Heston operator correspond to value functions for perpetual American-style options on the underlying asset.

研究の動機と目的

• 金融数学における退化楕円型障害問題の解の存在、一意性、およびグローバル正則性を確立すること。
• 境界における退化の特徴を有する退化拡散過程の代表例としてHeston確率的ボラティリティモデルを分析すること。
• 重み付きソボレフ空間を用いて、半平面内の非有界領域への正則性理論の拡張を図ること。
• 障害問題の解と永続的アメリカン型オプションの価格関数との関連を明らかにすること。
• 重み付きノルムおよびトレース作用素を用いて、退化境界付近における解の挙動を解明すること。

提案手法

• 線形成長係数および平方根による退化を有する楕円型Heston作用素を含む変分不等式として障害問題を定式化する。
• 境界付近、特に$ y = 0 $において拡散係数が消える領域の退化を扱うために重み付きソボレフ空間を適用する。
• Heston作用素に関連するエネルギー推定および双線形型を用いて、微分係数に対する事前評価を導出する。
• Lax-Milgramの定理およびペナルティ法を用いて、強制的および非強制的変分不等式の解の存在と一意性を証明する。
• ハーディーの不等式および重み付きトレース作用素を用いて、退化境界$ ar{ ho}_0 $付近の挙動を制御する。
• Cox-Ingersoll-Ross方程式の明示的解を分析することで、重み付き$ L^2 $-型空間における境界正則性および一意性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半平面内の非有界領域における退化楕円型Heston作用素の障害問題に解が存在する条件は何か？
• RQ2 特に$ H^2 $および Hölder 空間において、Heston変分不等式の解のグローバル正則性はいかなるものか？
• RQ3 重み付きソボレフ空間は、$ y = 0 $におけるHeston作用素の退化をどのように解消するか？
• RQ4 解の挙動は退化境界付近でどのように変化し、境界条件の有効性にどのような影響を与えるか？
• RQ5 源関数が重み付き測度を伴う$ L^2 $に属する場合、Heston障害問題の解について一意性と正則性を確立できるか？

主な発見

• 非強制的であっても、重み付きソボレフ空間においてHeston作用素の変分不等式の解は存在し、一意的である。
• 強制的および非強制的両方の変分不等式に対して、解のグローバル$ H^2 $正則性が確立され、重み付き測度に関する2階微分係数の可積分性が保証される。
• 解はグローバルな Hölder 継続性を示し、正則性は重みパラメータ$ eta $によって制御される。$ 0 < eta < 1 $のとき$ H^2 $正則性が成立する。
• 同次Heston方程式（$ f = 0 $）の解は$ H^1(bR_+, rak{m}) $において一意的であり、$ c_1 = c_2 = 0 $でなければ$ u eq 0 $とはならないため、$ u = 0 $が唯一の解である。
• 解の境界挙動は重み付きノイマン型条件$ y^eta u_y(0) = 0 $に従い、これは弱い定式化において自然に満たされる。
• 楕円型Cox-Ingersoll-Ross方程式の明示的解から、$ eta eq 1 $のとき$ y = 0 $付近で$ u otin H^2 $であることが示され、$ eta eq 0 $のとき$ u otin H^1 $であることが判明し、正則性を確保するための重み付き空間の必要性が強調される。