[論文レビュー] Existence, Uniqueness and Regularity of Decoupling Fields to Multidimensional Fully Coupled FBSDEs

Alexander Fromm, Peter Imkeller|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、分離場を用いて、多次元の完全に結合された前向き・後向き確率微分方程式（FBSDE）について、グローバルな存在性、一意性、正則性理論を確立する。最大区間の概念を導入し、リプシッツ条件の下で構成的なピカール＝リンデルフォスト反復を用いることで、解の変分的微分可能性を証明し、矛盾に基づく方法を提示して適切な定義の成立を検証する。これにより、1次元および適切に定義された場合に限らない既存の結果を拡張する。

ABSTRACT

We develop an existence, uniqueness and regularity theory for general multidimensional strongly coupled FBSDE using so called decoupling fields. We begin with a local result and extend it to a global theory via concatenation. The cornerstone of the global theory is the so called maximal interval which is, roughly speaking, the largest interval on which reasonable solutions exist. A method to verify that the maximal interval is the whole interval, for problems in which this is conjectured, is proposed. As part of our study of the regularity of solutions constructed we show variational differentiability under Lipschitz assumptions. Extra emphasis is put on the more special Markovian case in which assumptions on the Lipschitz continuity for the FBSDE can be weakened to local ones, and additional regularity properties emerge.

研究の動機と目的

• 1次元および適切に定義された場合に限らない、多次元の強い結合されたFBSDEの一般的な存在性、一意性、正則性理論の構築。
• 最大区間をコアな概念として導入し、意味のある解が存在する最大の定義域を表す。
• リプシッツ仮定の下で初期条件に関して解の変分的微分可能性を確立する。
• 特に最大区間が[0,T]であると予想される場合に、矛盾に基づく一般的手法を用いて適切な定義の成立を検証することを提案する。
• グローバルなリプシッツ条件をローカルな条件に弱めた状況においても、マコリアンの場合に正則性の結果を拡張すること。

提案手法

• グローバルなリプシッツ連続性の下で、小さな区間における収縮的ピカール＝リンデルフォスト反復を用いて局所解を構成し、存在性と一意性を保証する。
• 分離場を、局所的にFBSDE系を分離する確率的場として定義し、反復的解法の構築を可能にする。
• 重複する区間における局所解の連結を用いて理論をグローバルに拡張し、最大区間の概念に依存する。
• 弱微分と変分的微分を用いて、初期条件xに関して解が弱微分可能であることを証明し、変分的微分可能性を確立する。
• 最大区間が[0,T]に一致することを確認するための矛盾に基づく検証手法を導入する。
• 最大区間の左端における分離場の振る舞いを分析し、不適切な定義のための必要条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多次元の完全に結合されたFBSDEは、時間区間[0,T]全体で解をもつための条件は何か？
• RQ2 解が存在する最大の区間（最大区間と呼ばれる）を、どのように特徴づけられるか？
• RQ3 初期条件xに関して、解過程X, Y, Zの変分的微分可能性を保証する条件は何か？
• RQ4 最大区間が[0,T]に一致することをどのように検証できるか、つまり適切な定義を確認できるか？
• RQ5 マコリアンの場合に、グローバルなリプシッツ条件をローカルな条件に緩和しながら、正則性と存在性を保つにはどうすればよいか？

主な発見

• 係数のグローバルなリプシッツ連続性の下で、構成的ピカール＝リンデルフォスト反復を用いて、分離場の局所的存在性と一意性が確立される。
• 解(X, Y, Z)が初期条件xに関して弱微分可能であることが示され、非マコリアンの場合の変分的微分可能性が確立される。
• 最大区間は、意味のある解が存在する最大の定義域として定義され、0を含む閉区間であることが示される。
• 最大区間が[0,T]に一致することを確認するための矛盾に基づく手法が提案され、これにより適切な定義の成立が確認される。
• マコリアンの場合には、グローバルなリプシッツ条件をローカルなリプシッツ条件に置き換えることができ、分離場の正則性の性質が向上する。
• 弱微分可能性の証明は、ソボレフ型空間における弱収束と有界領域内でのテスト関数の使用に依存し、リーマン・ルベーグ微分定理を用いて弱微分のL2ノルムの上限が得られる。