[論文レビュー] Existential questions in (relatively) hyperbolic groups {\it and} Finding relative hyperbolic structures

François Dahmani|arXiv (Cornell University)|May 16, 2005

Geometric and Algebraic Topology参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、決定的かつ可換部分群を含むパラボリック部分群を持つ、捩れのない相対的双曲的群における存在的理論（パrameters付き）の決定可能性を確立する。特に、双曲的でない群の相対的双曲的構造を、語問題の解法、可換部分群の検出、線形等周長不等式による検証を組み合わせることで認識するためのアルゴリズムを導入する。

ABSTRACT

This arXived paper has two independant parts, that are improved and corrected versions of different parts of a single paper once named "On equations in relatively hyperbolic groups". The first part is entitled "Existential questions in (relatively) hyperbolic groups". We study there the existential theory of torsion free hyperbolic and relatively hyperbolic groups, in particular those with virtually abelian parabolic subgroups. We show that the satisfiability of systems of equations and inequations is decidable in these groups. In the second part, called "Finding relative hyperbolic structures", we provide a general algorithm that recognizes the class of groups that are hyperbolic relative to abelian subgroups.

研究の動機と目的

• 捩れのない相対的双曲的群、特に擬可換なパラボリック部分群を有する群における、パrameters付き存在的理論の決定可能性を証明すること。
• 有限提示が与えられた場合に、可換部分群に関して双曲的である群を識別する一般アルゴリズムを提供すること。
• 捩れのない双曲的群におけるディオファントス的理論および存在的理論の決定可能性に対する、代替的かつおそらくより単純な証明を提示すること。
• 一様な手法を用いて、極限群および完全に余自由な群における方程式の解法に関する結果を再発見・再導出すること。
• 相対的双曲的群におけるパラボリック部分群の特定および正確な相対的提示の構成のための構成的メソッドを開発すること。

提案手法

• 相対的双曲的群が、互いに交わらない水平球を持つグロモフ双曲的空間に作用し、その安定化部分群がパラボリック部分群であるという事実を活用する。
• 自動群における語問題の解法（Todd-Coxeterおよび自動構造アルゴリズムを用いて）を用い、有限個の群元の間に可換性と捩れの有無をテストする。
• 有限で互いに可換な群元の集合から生成される候補となる可換部分群を列挙し、語問題の解法によりその位数を確認する。
• 生成子に位数を割り当てることで候補となる相対的提示を構成し、群の構造と整合性があることを保証する。
• 提案された相対的提示が線形等周長不等式を満たすかどうかを検証するアルゴリズムを適用し、正確性および相対的双曲的性を示す。
• 双曲的定数およびデーン関数の推定値を用いて、ヴァン・コンペン図の複雑さを制限し、コーンを施したカイリー図における単純なループを列挙する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 捩れのない群が、決定的かつ存在的理論を持つ部分群に関して相対的双曲的である場合、パrameters付き存在的理論は決定可能か？
• RQ2 与えられた有限提示が、可換部分群に関して双曲的である群を定義するかどうかを識別するアルゴリズムは存在するか？
• RQ3 相対的双曲的群におけるパラボリック部分群の構造は、有限提示からアルゴリズム的に特定可能か？
• RQ4 双曲的群におけるディオファントス的理論の決定可能性は、相対的双曲的群に適用可能なより一般的な枠組みから導かれるか？
• RQ5 このような群における方程式および不等式系の解集合は、アルゴリズム的に記述可能か、または複雑さが有界に保たれるか？

主な発見

• 決定的かつ存在的理論を持つ部分群に関して相対的双曲的である任意の捩れのない群において、パrameters付き存在的理論は決定可能である。
• すべての捩れのない双曲的群において、パrameters付き存在的理論は決定可能であり、これはセラの結果を異なる方法で再現する。
• 可換部分群に関して双曲的である群に対しては、有限提示から相対的双曲的構造を識別するアルゴリズムが存在する。
• 有限な可換集合を列挙し、ある上限以下の位数を持つ要素が存在しないことを確認することで、最大可換部分群が検出可能である。
• 提案された提示が線形等周長不等式を満たし、可換部分群の写像が単射である場合、正確な相対的提示が特定される。
• コーンを施したカイリー図の双曲的定数および有界長さの単純なループのリストは、有効に計算可能であり、相対的双曲的性のアルゴリズム的検証を可能にする。