[論文レビュー] Exit problems for general draw-down times of spectrally negative Lévy processes

Bo Li, Nhat Linh Vu+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2017

Probability and Risk Models参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、ランクの最大値に従って動的に変化するdraw-downレベルを伴う一般化されたdraw-down時間における抜出し問題について、スペクトラルに負のLévy過程において、同時ラプラス変換を確立する。拡張理論とスケール関数を用いて、到達時間、 creeping 時間、およびこのようなdraw-down時間に関連するポテンシャル測度のラプラス変換の明示的表現を導出する。既知の結果をより広いクラスの動的抜出しレベルへと拡張する。

ABSTRACT

For spectrally negative Lévy processes, we prove several fluctuation results involving a general draw-down time, which is a downward exit time from a dynamic level that depends on the running maximum of the process. In particular, we find expressions of the Laplace transforms for the two-sided exit problems involving the draw-down time. We also find the Laplace transforms for the hitting time and creeping time over the running-maximum related draw-down level, respectively, and obtain an expression for a draw-down associated potential measure. The results are expressed in terms of scale functions for the spectrally negative Lévy processes.

研究の動機と目的

• スペクトラルに負のLévy過程の抜出し問題の結果を、固定レベルのdraw-downを超えて、ランクの最大値に依存する動的draw-downレベルへ一般化すること。
• フラクチュエーション理論における時間変化するdraw-downレベルを伴う同時ラプラス変換の明示的表現の欠如に対処すること。
• スケール関数を用いて、到達時間、creeping 時間、およびポテンシャル測度の既存の結果を一般draw-down関数へと拡張すること。
• 拡張理論とパス分解技術を用いて、過去のdraw-down時間に関する発見を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• スペクトラルに負のLévy過程のフラクチュエーション挙動を、動的draw-down時間において拡張理論を適用して分析する。
• スケール関数 $ W^{(q)} $ と $ Z^{(q)} $ を用いて、抜出し時間と状態の同時ラプラス変換を表現する。
• 時間に依存するレベル以下の拡張の積分を用いて、draw-down時間のラプラス変換を導出する。
• 補償公式と準左連続性を用いて、draw-down境界におけるジャンプの到着を処理する。
• creeping 時間と到達時間の特徴づけに、スケール関数の微分に関する恒等式を確立する。
• 既知の結果を回復・検証するために、線形draw-down関数を特別なケースとして考察する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 到達レベルがランクの最大値に依存する場合、一般化されたdraw-down時間におけるプロセスの同時ラプラス変換はどのように表現できるか？
• RQ2 ランクの最大値に従って変化するdraw-downレベルへの到達時間のラプラス変換は何か？
• RQ3 動的draw-downレベルを連続的に通過するcreeping時間はどのように振る舞い、そのラプラス変換は何か？
• RQ4 一般的な動的ケースにおけるdraw-down時間に関連するポテンシャル測度の構造は何か？
• RQ5 結果を線形draw-down関数のケースに特化することで、既知の公式を回復できるか？

主な発見

• draw-down時間におけるプロセスの同時ラプラス変換は、スケール関数 $ W^{(q)} $ 及びその微分を含む、ランクの最大値に関する積分として表現される。
• 動的draw-downレベルへの到達時間のラプラス変換は、拡張の積分とスケール関数 $ W^{(q)} $ を用いて導出され、$ W^{(q)ackprime} $ と $ W^{(q)} $ を含む重要な恒等式が得られる。
• creeping時間のラプラス変換は、微分比 $ W^{(q)ackprime}(x)/W^{(q)}(x) $ を含む式で与えられ、連続的通過の確率を反映する。
• draw-down関連ポテンシャル測度の式は、拡張の局所時間とスケール関数の積分を用いて導出される。
• 線形draw-downケースでは、既に知られていた公式が回復され、一般化されたフレームワークの妥当性が検証される。
• 重要な解析的結果として、恒等式 $$ n(e^{-q ho^{\{b-a\}}}; \rho^{\{b-a\}} < \rho^{+}_{b-c}) = \frac{W^{(q)}(b-c)}{W^{(q)}(a-c)} \left( \frac{W^{(q)\prime}(b-a)}{W^{(q)}(b-a)} - \frac{W^{(q)\prime}(b-c)}{W^{(q)}(b-c)} \right) $$ が確立される。