[論文レビュー] Exotic smooth R^4, noncommutative algebras and quantization

Torsten Aßelmeyer-Maluga, Jerzy Król|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2010

Advanced Operator Algebra Research参考文献 27被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、小さな R⁴ における特異的滑らかさ構造と非可換作用素代数の間に深い関係を確立し、foliation 理論と循環コhomology を用いて、特定の特異的 R⁴ が一意な超有限型 II₁ von Neumann 代数を生じることを示している。さらに、表面におけるループの Poisson 代数の Drinfeld-Turaev 量子化が、Morita 同値な II₁ 代数である skein 代数を生じることを示し、特異的滑らかさと 4 次元時空における量子理論を結びつけている。

ABSTRACT

The paper shows deep connections between exotic smoothings of small R^4, noncommutative algebras of foliations and quantization. At first, based on the close relation of foliations and noncommutative C*-algebras we show that cyclic cohomology invariants characterize some small exotic R^4. Certain exotic smooth R^4's define a generalized embedding into a space which is K-theoretic equivalent to a noncommutative Banach algebra. Furthermore, we show that a factor III von Neumann algebra is naturally related with nonstandard smoothing of a small R^4 and conjecture that this factor is the unique hyperfinite factor III_1. We also show how an exotic smoothing of a small R^4 is related to the Drinfeld-Turaev (deformation) quantization of the Poisson algebra (X(S,SL(2,C),{,}) of complex functions on the space of flat connections X(S,SL(2,C) over a surface S, and that the result of this quantization is the skein algebra (K_t(S),[,]) for the deformation parameter t=exp(h/4). This skein algebra is retrieved as a II_1 factor of horocycle flows which is Morita equivalent to the II_infty factor von Neumann algebra which in turn determines the unique factor III_1 as crossed product. Moreover, the structure of Casson handles determine the factor II_1 algebra too. Thus, the quantization of the Poisson algebra of closed circles in a leaf of the codimension 1 foliation of S^3 gives rise to the factor III_1 associated with exotic smoothness of R^4. Finally, the approach to quantization via exotic 4-smoothness is considered as a fundamental question in dimension 4 and compared with the topos approach to quantum theories.

研究の動機と目的

• 特異的滑らかさ R⁴ と非可換作用素代数との間の幾何学的・代数的ブリッジを確立すること。
• 特定の特異的 R⁴ 構造が、C(S³) の K-理論的変形を非可換 Banach 代数へと引き起こすことを示すこと。
• foliation とホロノミー群ガロア構成を介して、特異的滑らかさ R⁴ から自然に生じる因子 III₁ von Neumann 代数が、実際に存在することを示すこと。
• 特異的滑らかさと表面における Poisson 代数の変形量子化との関係を結びつけ、skein 代数を導出すること。
• 特異的滑らかさが量子理論において果たす基盤的役割を検討し、トポス理論的アプローチと比較すること。

提案手法

• Akbulut サドルの境界である S³ における codimension-1 foliation を用い、Thurston の構成（双曲多角形を介して）を応用して、R⁴ における特異的滑らかさをモデル化する。
• 特異的 R⁴ の特徴づけに、循環コhomology と K-理論不変量を適用し、Godbillon-Vey 級数が、面積不変量と関連する非コボルディズム的 foliation を検出できることを示す。
• foliation 従来の滑らかさ群ガロアを構成し、その C*-代数を導出し、これが II₁ 因子と Morita 同値であることを示す。
• 表面におけるループの Poisson 代数に Drinfeld-Turaev 量子化を適用し、変形パrameter t = exp(h/4) を用いて skein 代数を導出する。
• Casson ハンドルの構造を用いて II₁ 因子代数を再構成し、位相的 4 次元多様体構造と作用素代数を結びつける。
• II₁ 因子を II∞ ⋊θ ℝ₊* の交叉積として導出し、特異的滑らかさ R⁴ が自然に一意な超有限型 II₁ 因子を生じることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小さな R⁴ における特異的滑らかさ構造は、非可換 C*-代数および K-理論とどのように関係するか？
• RQ2 S³ における codimension-1 foliation の Godbillon-Vey 級数は、R⁴ における特異的滑らかさを検出できるか？
• RQ3 表面におけるループの Poisson 代数の Drinfeld-Turaev 量子化は、II₁ 因子と同型な skein 代数を生じるか？
• RQ4 foliation とホロノミー群ガロア構成を介して、因子 III₁ von Neumann 代数は特異的滑らかさ R⁴ に対して一意に関連づけられるか？
• RQ5 4 次元時空における特異的滑らかさは、量子理論のトポス理論的アプローチとどのように比較できるか？

主な発見

• 特異的 R⁴ は、C(S³) の K-理論的変形を引き起こし、C(S³) の可換代数の K-理論が非可換 Banach 代数の K-理論へと変形される。
• S³ における foliation の Godbillon-Vey 級数は、双曲多角形の面積に依存し、非コボルディズム的 foliation を検出する位相的不変量として機能し、R⁴ における特異的滑らかさと関連づけられる。
• S³ における codimension-1 foliation の滑らかさホロノミー群ガロアは、II₁ 因子と Morita 同値である C*-代数を生じる。この II₁ 因子は、一意な超有限型 II₁ 因子として特定される。
• 表面 S における Poisson 代数 (X(S,SL(2,C)), {,}) の Drinfeld-Turaev 変形量子化は、t = exp(h/4) のもとで skein 代数 (K_t(S), [,]) を与え、これは II₁ 因子代数と同型である。
• Akbulut サドル構成における Casson ハンドルの構造が直接的に II₁ 因子代数を決定し、位相的 4 次元多様体構造と作用素代数を結びつける。
• II₁ 因子は II∞ ⋊θ ℝ₊* の交叉積として実現され、特異的滑らかさ R⁴ が自然に一意な超有限型因子 III₁ を生じることを確認する。