[論文レビュー] Twisted K-theory

Michael Atiyah, Graeme Segal|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 24被引用数 161

ひとこと要約

本稿は、複素射影空間のバンドルまたはC*-代数のバンドルを備えた空間におけるねじれ付き複素K理論の体系的枠組みを確立し、ねじれがH³(X; ℤ)によって分類されることを示している。コンパクトなリー群の作用に対する等長的バージョンを構築し、ねじれが等長的コホモロジーH³ᴳ(X; ℤ)によって分類されることを証明し、Freed-Hopkins-Telemanの研究から得られる例と関連づけている。

ABSTRACT

Twisted complex K-theory can be defined for a space X equipped with a bundle of complex projective spaces, or, equivalently, with a bundle of C ∗ -algebras. Up to equivalence, the twisting corresponds to an element of H 3 (X; Z). We give a systematic account of the definition and basic properties of the twisted theory, emphasizing some points where it behaves differently from ordinary K-theory. (We omit, however, its relations to classical coho- mology, which we shall treat in a sequel.) We develop an equivariant version of the theory for the action of a compact Lie group, proving that then the twistings are classified by the equivariant cohomology group H 3 G (X; Z). We also consider some basic examples of twisted K-theory classes, related to those appearing in the recent work of Freed-Hopkins-Teleman.

研究の動機と目的

• 射影バンドル構造を備えた空間に対するねじれ付き複素K理論の体系的定義と基礎的性質を提供すること。
• ねじれ付きK理論におけるねじれがH³(X; ℤ)の元に対応することを明確にし、通常のK理論とはどのように異なるかを明らかにすること。
• コンパクトなリー群の作用下でのねじれ付きK理論への拡張を実行すること。
• トポロジカル量子場理論におけるFreed, Hopkins, および Telemanの研究から得られる既知の例と理論を結びつけること。

提案手法

• ねじれ付きK理論を定義するために、複素射影空間のバンドルまたはC*-代数のバンドルを幾何的データとして用いる。
• 射影ユニタリバンドルの分類空間を用い、H³(X; ℤ)によるねじれの表現を実現する。
• コンパクトなリー群の作用への一般化のために、等長的コホモロジー理論を適用する。
• ホモトピー論的および層論的技法を用いて理論を展開し、構造的性質に焦点を当てる。
• ねじれ付きK理論の類を解析するために、チエーン写像とスペクトル系列の議論に依拠する。
• 特にループ群やモジュラーテンソルカテゴリを含む、数学的物理学における既知の例と接続を図る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影バンドル構造を備えた空間に対して、ねじれ付きK理論をどのように体系的に定義できるか？
• RQ2 ねじれ付きK理論は、構造的および分類的観点から、通常のK理論とどのように根本的に異なるか？
• RQ3 コンパクトなリー群の作用下での等長的設定において、ねじれはどのように分類されるか？
• RQ4 H³ᴳ(X; ℤ)は、K理論の等長的ねじれを分類するために果たす役割は何か？
• RQ5 ねじれ付きK理論の類は、Freed, Hopkins, および Telemanの研究から生じる類とどのように関係するか？

主な発見

• 複素射影空間のバンドルまたはC*-代数のバンドルを備えた空間に対して、ねじれ付き複素K理論は適切に定義される。
• ねじれの集合は、同値関係を除いて、整係数コホモロジー群H³(X; ℤ)によって分類される。
• 等長的状況では、ねじれは等長的コホモロジー群H³ᴳ(X; ℤ)によって分類される。
• 特にテンソル積やボット周期性の下での振る舞いにおいて、通常のK理論とは構造的に異なる性質を示す。
• Freed, Hopkins, および Telemanの研究に現れるねじれ付きK理論の類を理解する自然な設定を提供する。
• 結果として、今後、古典的コホモロジーとねじれ付きK理論の関係をさらに研究する基盤が築かれる。