[論文レビュー] Exotic Smooth Structures on Small 4-Manifolds with Odd Signatures

Anar Akhmedov, B. Doug Park|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Luttingerおよびトーラスの手術を用いて、奇数の符号数をもつ小さな4次元多様体、特に${\mathbb{CP}}^2\#m\overline{\mathbb{CP}}^2$および$3{\mathbb{CP}}^2\#k\overline{\mathbb{CP}}^2$（特定の$m,k$に対して）に異種の滑らかさ構造を構成する。これは、同相型のまま滑らかさ構造を変えるが、同相型は保ったまま、非自明なシンプレクティック4次元多様体の存在を示し、同相型のまま互いに微分同相でない無限族の非シンプレクティックな非自明な4次元多様体を構成する。これにより、4次元多様体の地理図における52の未解決事項が埋まる。

ABSTRACT

Let $M$ be $\CP#2\CPb$, $3\CP#4\CPb$ or $(2n-1)\CP#2n\CPb$ for any integer $n\geq 3$. We construct an irreducible symplectic 4-manifold homeomorphic to $M$ and also an infinite family of pairwise non-diffeomorphic irreducible non-symplectic 4-manifolds homeomorphic to $M$. We also construct such exotic smooth structures when $M$ is $\CP#4\CPb$ or $3\CP# k \CPb$ for $k=6,8,10$.

研究の動機と目的

• 奇数の符号数をもつ小さな4次元多様体に異種の滑らかさ構造を構成すること、特に$m$が奇数で$m < n \leq 5m+4$であるような$m{\mathbb{CP}}^2\#n\overline{\mathbb{CP}}^2$に同相な多様体に対して。
• 既知の複数の滑らかさ構造をもつ4次元多様体の範囲を拡大すること、具体的には$m=1,3$および特定の$n$に対して$m{\mathbb{CP}}^2\#n\overline{\mathbb{CP}}^2$にこのような構造を構成すること。
• 4次元多様体の地理問題における未解決事項を解決すること、具体的にはシンプレクティックおよび非シンプレクティック領域に新しい$(\chi_h, c_1^2)$座標を実現すること。
• 指定された奇数の符号数をもつ小さな4次元多様体に同相な、無限個の互いに微分同相でない非自明な非シンプレクティック4次元多様体の無限族の存在を証明すること。
• 与えられたシンプレクティック4次元多様体の基本群に同型な基本群をもつシンプレクティック4次元多様体の一般構成法を確立すること、Lagrangianトーラスの手術を用いる。

提案手法

• 構成法は、$\Sigma_2 \times \Sigma_n$という4次元多様体に対して$2n+4$回の手術を施す。そのうち$2n+3$回はLuttinger手術、1回はトーラス手術であり、それらにより$(2n-3)(S^2 \times S^2)$と同一のコhomology環をもつ4次元多様体の族が得られる。
• 得られた4次元多様体の基本群は、van Kampenの定理を用いて、手術の曲線とその交差関係から得られる関係式によって計算される。
• 異種の滑らかさ構造は、構成ブロックのシンプレクティックな正規接続和にLuttingerおよびトーラス手術を施すことにより得られる。この手術は、同相型は保たれつつも滑らかさ構造を変える。
• この構成法は、シンプレクティック4次元多様体内の特定のLagrangianトーラスが、シンプレクティックまたは非シンプレクティック構造を保ちつつ、微分同相型を変える手術に用いられることに依存している。
• 定理2では、シンプレクティック正規接続和において1つのLuttinger手術を飛ばすことで、非単連結なシンプレクティック4次元多様体$N$が得られ、その中にLagrangianトーラス$T'$が存在する。このとき、$T'$のミルナー円周は$\pi_1(N \setminus \nu T')$において自明であることが保証される。
• 得られた4次元多様体$Y$は、$N$を$T'$に沿って手術することで構成され、その基本群は$\pi_1(X)$と同型であることが示され、$\chi_h(Y) = \chi_h(X) + \chi$および$c_1^2(Y) = c_1^2(X) + c$（$\chi, c$は指定された値）を満たす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇数の符号数をもつ小さな4次元多様体、たとえば${\mathbb{CP}}^2\#2\overline{\mathbb{CP}}^2$や$3{\mathbb{CP}}^2\#4\overline{\mathbb{CP}}^2$に異種の滑らかさ構造を構成できるか？
• RQ2 $m$が奇数で$m < n \leq 5m+4$であるとき、$m{\mathbb{CP}}^2\#n\overline{\mathbb{CP}}^2$に同相な非自明なシンプレクティック4次元多様体が存在するか？
• RQ3 このような多様体に、無限個の互いに微分同相でない非自明な非シンプレクティック4次元多様体の無限族を構成できるか？
• RQ4 このような異種構造を用いて、4次元多様体の地理図に新しい点を実現できるか？
• RQ5 基本群を保ちつつ、$\chi_h$および$c_1^2$を指定された量だけ増加させる手術が、シンプレクティック4次元多様体に対して可能か？

主な発見

• ${\mathbb{CP}}^2\#2\overline{\mathbb{CP}}^2$に同相な非自明なシンプレクティック4次元多様体が構成され、これは、複数の滑らかさ構造をもつ単連結4次元多様体の中で、最小のオイラー標数をもつ既知の例である。
• ${\mathbb{CP}}^2\#2\overline{\mathbb{CP}}^2$に同相な、無限個の互いに微分同相でない非自明な非シンプレクティック4次元多様体の無限族が構成された。
• $3{\mathbb{CP}}^2\#k\overline{\mathbb{CP}}^2$（$k=4,6,8,10$）に対して、同様に非自明なシンプレクティック4次元多様体と、無限個の互いに微分同相でない非自明な非シンプレクティック4次元多様体の無限族が構成された。
• $(2n-1){\mathbb{CP}}^2\#2n\overline{\mathbb{CP}}^2$（$n \geq 3$）に対しても、非自明なシンプレクティック4次元多様体と、無限個の互いに微分同相でない非自明な非シンプレクティック4次元多様体の無限族が構成された。
• 結果として、4次元多様体の地理図に52の新しい点が埋め込まれた。具体的には、$2e + 3\sigma \geq 0$、$e + \sigma \equiv 0 \pmod{4}$、$\sigma \leq -1$を満たす領域、あるいは$(\chi_h, c_1^2)$座標で$0 \leq c_1^2 \leq 8\chi_h - 1$を満たす領域に属する点が新たに実現された。
• 定理2は、任意の閉じたシンプレクティック4次元多様体$X$が、自己交差数0のシンプレクティックトーラスをもち、その基本群の像が自明であると仮定し、任意の$(\chi, c)$について$0 \leq c \leq 8\chi - 1$を満たすとき、$\pi_1(Y) \cong \pi_1(X)$、$\chi_h(Y) = \chi_h(X) + \chi$、$c_1^2(Y) = c_1^2(X) + c$を満たすシンプレクティック4次元多様体$Y$が存在することを示している。さらに、$Y$は奇数の不定型交差形式をもつ。