[論文レビュー] Finite group actions and G-monopole classes on smooth 4-manifolds

Chanyoung Sung|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 39被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有限群作用を伴う滑らかな4次元多様体における$G$-モノポール類の概念を導入する。これは、すべての$G$-不変計量に対してSeiberg-Witten方程式の$G$-不変解をもつ$G$-可換Spin$^c$構造から生じる$H^2(M;\mathbb{Z})$の元として定義される。$\mathbb{Z}_k \oplus H$の非自明な非自由作用を、$S^2 \times S^2$、$\mathbb{C}P_2$、$\overline{\mathbb{C}P}_2$、およびK3多様体の連結和に対して無限に多く構成する。その根拠として、非自明なBauer-Furuta不変量を持つ連結和における$\mathbb{Z}_k$-モノポール類を用いる。

ABSTRACT

On a smooth closed oriented $4$-manifold $M$ with a smooth action by a compact Lie group $G$, we define a $G$-monopole class as an element of $H^2(M;\Bbb Z)$ which is the first Chern class of a $G$-equivariant Spin$^c$ structure which has a solution of the Seiberg-Witten equations for any $G$-invariant Riemannian metric on $M$. We find $\Bbb Z_k$-monopole classes on some $\Bbb Z_k$-manifolds such as the connected sum of $k$ copies of a 4-manifold with nontrivial mod 2 Seiberg-Witten invariant or Bauer-Furuta invariant, where the $\Bbb Z_k$-action is a cyclic permutation of $k$ summands. As an application, we produce infinitely many exotic non-free actions of $\Bbb Z_k\oplus H$ on some connected sums of finite number of $S^2 imes S^2$, $\Bbb CP_2$, $\overline{\Bbb CP}_2$, and $K3$ surfaces, where $k\geq 2$, and $H$ is any nontrivial finite group acting freely on $S^3$.

研究の動機と目的

• 有限群作用を伴う滑らかな4次元多様体における$G$-モノポール類を定義・研究し、モノポール類を等化的設定に一般化すること。
• 等化的Seiberg-Witten理論と一般化不変量を用いて$G$-モノポール類を検出するフレームワークを構築すること。
• $H$が$S^3$上で自由に作用する任意の非自明な有限群$H$をとるとき、標準的4次元多様体の連結和における$\mathbb{Z}_k \oplus H$の滑らかで微分同相でない作用を無限に構成すること。
• 標準的不変量が消える場合、特に$b_2^+ > 0$である連結和において、通常のSeiberg-Witten不変量を超えてモノポール類を検出することを拡張すること。

提案手法

• すべての$G$-不変リーマン計量に対して、Seiberg-Witten方程式の$G$-不変解をもつ$G$-可換Spin$^c$構造の第一チャーン類として$G$-モノポール類を定義する。
• 通常のモジュライ空間の$G$-固定点集合である$G$-モノポールモジュライ空間$\mathfrak{X}$を用い、$G$-モノポール不変量$SW^G_{M,\mathfrak{s}}$を精緻化して定義する。
• $N$に$\mathbb{Z}_k$作用を導入し、$M$-成分の巡回的順列を組み合わせることで、$\overline{M}_k = M\#\cdots\#M\#N$（$k$個の$M$）上に$\mathbb{Z}_k$-モノポール類を構成する。
• Bauer-Furuta不変量とその$G$-等化的一般化を用い、標準的Seiberg-Witten不変量が自明な場合でも、非自明な$G$-モノポール不変量を検出すること。
• Taubesのグリューニング公式を適用し、mod 2基本類がファイバー和操作を経ても存続することを保証し、$G$-モノポール類構造を維持する。
• 楕円多様体における紐手術と対数的変換を用いて、任意に大きなmod 2基本類の数を持つ無限族の異種多様体を生成し、これにより無限に多くの異なる$G$-作用を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限群作用の下でモノポール類を等化的設定に一般化できるか。そのような$G$-モノポール類の存在を保証する条件は何か。
• RQ2 標準的Seiberg-Witten不変量が消える連結和において、$G$-モノポール類はどのように検出可能か。
• RQ3 通常の不変量が自明な場合、$\overline{BF}^G_{M,\mathfrak{s}}$のような等化的不変量が$G$-モノポール類の検出に果たす役割は何か。
• RQ4 $G$-モノポール類を用いて、$\mathbb{Z}_k \oplus H$の滑らかで微分同相でない作用を無限に構成できるか。
• RQ5 紐手術と対数的変換は、連結和における$G$-モノポール類の存在と数にどのように影響するか。

主な発見

• 本稿は、$k \geq 2$および$S^3$上で自由に作用する任意の非自明な有限群$H$に対して、$S^2 \times S^2$、$\mathbb{C}P_2$、$\overline{\mathbb{C}P}_2$、およびK3多様体の連結和に対する無限に多くの異種非自由作用を構成する。
• $m(S^2 \times S^2)$（$m$が無限に多くの値をとる場合）に対しても、このような異種作用が存在する。その構成法として、$E(2n)$の対数的変換をシンプレクティック4次元多様体とシンプレクティックトーラスに沿ってファイバー和することで実現する。
• 十分に大きな対数的変換パラメータ$r$を選べば、得られる多様体におけるmod 2基本類の数を任意に大きくでき、$G$-モノポール不変量の非自明性を保証する。
• 構成の根拠として、$E(2n)$の$r$-対数的変換のSeiberg-Witten多項式に含まれるmod 2項の数が$r$に従って増加すること、およびTaubesのグリューニング公式により、ファイバー和操作を経てもこれらの項が存続することを用いる。
• $n \geq 2$の$E(n)$に対して、高次の対称化アレクサンダー多項式を持つ紐$K$を用いた紐手術により、任意に多くのmod 2基本類を持つ多様体が得られ、これにより$\mathbb{Z}_k$-モノポール類の構成が可能になる。
• 連結和$klE(2n)\#(l-1)(S^2\times S^2)$は、$klnK3\#(kl(n-1)+l-1)(S^2\times S^2)$と微分同相であり、両者とも$G$-モノポール類の保存により、所望の異種$\mathbb{Z}_k \oplus H$作用を有する。