[論文レビュー] Exotic tilting sheaves, parity sheaves on affine Grassmannians, and the Mirkovic-Vilonen conjecture

Carl Mautner, Simon Riche|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 34被引用数 25

ひとこと要約

この論文は、G×Gm-不変な Springer 解消上の導来圏における傾き対象と、Langlands 双対群のアフィングラスマンニアン上の Iwahori-可構造的パリティ層の間の同値性を確立する。主な貢献は、良い特徴性における球対称パリティ層の perverse 性に関する Mirković–Vilonen 予想のモジュラーな証明であり、正標数への Arkhipov–Bezrukavnikov–Ginzburg の結果の一般化を含む新しい同値性である。

ABSTRACT

Let $\mathbf{G}$ be a connected reductive group over an algebraically closed field $\mathbb{F}$ of good characteristic, satisfying some mild conditions. In this paper we relate tilting objects in the heart of Bezrukavnikov's exotic t-structure on the derived category of equivariant coherent sheaves on the Springer resolution of $\mathbf{G}$, and Iwahori-constructible $\mathbb{F}$-parity sheaves on the affine Grassmannian of the Langlands dual group. As applications we deduce in particular the missing piece for the proof of the Mirkovic-Vilonen conjecture in full generality (i.e. for good characteristic), a modular version of an equivalence of categories due to Arkhipov-Bezrukavnikov-Ginzburg, and an extension of this equivalence.

研究の動機と目的

• Langlands 双対群のアフィングラスマンニアン上のパリティ層と、Springer 解消上の特異的傾き層の間のカテゴリカル同値性を確立すること。
• 良い特徴性における球対称パリティ層の perverse 性に関する Mirković–Vilonov 予想のモジュラー証明を提供すること。
• 『モジュラー混合導来圏』の構成を用いて、Arkhipov–Bezrukavnikov–Ginzburg の同値性を正標数に一般化すること。
• 元の同値性を Springer 解消から Grothendieck 解消 $\widetilde{\mathfrak{g}}$ に拡張し、連続層から Iwahori-不変層へ対応づけること。

提案手法

• G×Gm-不変な Springer 解消上の $D^b\operatorname{Coh}^{\mathbf{G}\times\mathbb{G}_m}(\widetilde{\mathcal{N}})$ と、$\check{G}$ のアフィングラスマンニアン上の Iwahori-可構造的層のモジュラー混合導来圏との間の圏同値を構成する。
• Springer 解消上の特異的 t-構造とそのハートを用い、これは $\mathbf{X} \times \mathbb{Z}$ でインデックス付けられた標準的・余標準的対象を持つ、階数付き最高ウェイト圏である。
• 良い特徴性の体 $\mathbb{F}$ を係数に持つアフィングラスマンニアン上のパリティ層の理論を適用する。
• $\mathbf{G} \times \mathbb{G}_m$ の Springer 解消への作用とそれに伴う階数付けを用いて、$\mathbf{X} \times \mathbb{Z}$ でパrametrized された傾き対象を定義する。
• 同調的技術、特に $\mathbb{H}^\bullet$ と $\Gamma(\widetilde{\mathcal{N}}, \mathcal{O}_{\widetilde{\mathcal{N}}}(-w_0\mu))_m$ を含む同型を用いて、両圏における Ext-群を関係づける。
• 自然な $\mathbb{G}_m$-加群とのテンソル積による自己同値 $\langle 1\rangle$ を用いて、導来圏における階数付けをずらす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Mirković–Vilonen 予想が示唆するように、良い特徴性におけるアフィングラスマンニアン上の球対称パリティ層は perverse か？
• RQ2 『モジュラー混合導来圏』の構成を用いて、Arkhipov–Bezrukavnikov–Ginzburg の同値性を正標数に拡張できるか？
• RQ3 $D^b\operatorname{Coh}^{\mathbf{G}\times\mathbb{G}_m}(\widetilde{\mathcal{N}})$ と、アフィングラスマンニアン上の Iwahori-可構造的層のモジュラー混合導来圏との間にはカテゴリカル同値性があるか？
• RQ4 同値性は Springer 解消から Grothendieck 解消 $\widetilde{\mathfrak{g}}$ に拡張できるか？
• RQ5 Langlands 対称性の下で、特異的 t-構造における傾き対象とパリティ層との関係は何か？

主な発見

• この論文は、$\check{G}$ のアフィングラスマンニアン上の球対称パリティ層が良い特徴性において perverse であることを証明し、Mirković–Vilonen 予想の完全な一般化における証明を完成させる。
• 論文は、$D^b\operatorname{Coh}^{\mathbf{G}\times\mathbb{G}_m}(\widetilde{\mathcal{N}})$ と、$\mathcal{G}r$ 上の Iwahori-可構造的層のモジュラー混合導来圏との間の圏同値性を構成し、Arkhipov–Bezrukavnikov–Ginzburg の同値性を正標数に一般化する。
• 同値性は、$D^b\operatorname{Coh}^{\mathbf{G}\times\mathbb{G}_m}(\widetilde{\mathfrak{g}})$ と、$\mathcal{G}r$ 上の Iwahori-不変層のモジュラー混合導来圏との間へ拡張され、元の結果が Grothendieck 解消へ拡張される。
• 特異的 t-構造における傾き対象 $\mathcal{T}^\lambda$ は、$\mathcal{G}r$ 上のパリティ層 $\mathcal{E}^\lambda$ に対応し、$\mathbb{G}_m$-作用に起因する階数づれが生じる。
• 両圏における Ext-群は同型である：$\operatorname{Hom}^{m}(\Delta^\mu_{\widetilde{\mathcal{N}}}, \mathcal{T}^\lambda\langle -m\rangle) \cong \left( \mathsf{T}(\lambda) \otimes \Gamma(\widetilde{\mathcal{N}}, \mathcal{O}_{\widetilde{\mathcal{N}}}(-w_0\mu)) \right)^\mathbf{G}_m$。
• 証明は、コホモロジー群の標準的同型に依拠する：$\operatorname{Hom}^{m}(\Delta^{\mathrm{mix}}_{-\mu}, \mathcal{E}^{\mathrm{mix}}_{-\lambda}\langle -m\rangle) \cong \mathbb{H}^{m - \dim(\mathcal{G}r^\mu)}(\imath_\mu^! \mathcal{E}^\lambda)$、幾何的および表現論的データを結びつける。