[論文レビュー] Perverse sheaves on a Loop group and Langlands' duality

Victor Ginzburg|ArXiv.org|Nov 13, 1995

Advanced Algebra and Geometry参考文献 23被引用数 232

ひとこと要約

本稿は、代数的群 $G(\overline{F}[[z]])$-不変な perverse sheaf の圏と、Langlands 双対群 $G^\lor$ の有限次元有理型表現の圏の間で、幾何的 Langlands 対称性の同値性を確立する。関数-層対応と $G(\overline{F}[[z]])$-不変コホモロジーを用いて、Grothendieck 群に同型を与えるテンソル同値を構成し、無限次元多様体上の perverse sheaf を用いて Satake 同型を幾何的に実現する。

ABSTRACT

An intrinsic construction of the tensor category of finite dimensional representations of the Langlands dual group of G in terms of a tensor category of perverse sheaves on the loop group, LG, is given. The construction is applied to the study of the topology of the affine Grassmannian of G and to establishing a Langlands type correspondence for "automorphic" sheaves on the moduli space of G-bundles.

研究の動機と目的

• アフィングラスマンニアン上の perverse sheaf を用いた Satake 同型の幾何的解釈を提供すること。
• アフィングラスマンニアン $\mathrm{Gr} = G(\overline{F}((z)))/G(\overline{F}[[z]])$ 上の $G(\overline{F}[[z]])$-不変な perverse sheaf の圏と、Langlands 双対群 $G^\lor$ の有限次元有理型表現の圏の間のテンソル同値性を確立すること。
• 関数-層対応を用いて、$G(\mathbb{Z}_p)\backslash G(\mathbb{Q}_p)/G(\mathbb{Z}_p)$ のヘッケ代数を、$\mathrm{Gr}$ 上の perverse sheaf の Grothendieck 群として実現すること。
• $p$-進体を複素形式的べき級数に置き換えることで、古典的 Satake 同型を代数的幾何学と perverse sheaf 理論を用いた幾何的設定に拡張すること。

提案手法

• アフィングラスマンニアン $\mathrm{Gr} = G(\overline{F}((z)))/G(\overline{F}[[z]])$ を、$G(\overline{F}[[z]])$-作用を伴う複素代数的多様体として導入する。
• アフィングラスマンニアン上の半単純な $G(\overline{F}[[z]])$-不変な perverse sheaf の圏 $P(\mathrm{Gr})$ を定義し、畳み込みテンソル積構造を備える。
• 関数-層対応を適用し、各 perverse sheaf $\mathcal{F} \in P(\mathrm{Gr})$ に対して、$G(\mathbb{F}((z)))/G(\mathbb{F}[[z]])$ 上の関数 $\chi_{\mathcal{F}}$ を割り当てる。これにより、$\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{Z}} K(P(\mathrm{Gr})) \simeq \mathbb{C}[G(\mathbb{F}[[z]])\backslash G(\mathbb{F}((z)))/G(\mathbb{F}[[z]])]$ の同型が誘導される。
• Satake 同型と Langlands 双対群 $G^\lor$ を用いた再解釈を適用し、$\mathbb{C}[X^*(T^\lor)]^W \simeq \mathbb{C}[G^\lor]^{G^\lor}$、つまり $G^\lor$ 上の多項式共役類関数の代数を同定する。
• 各表現 $V \in \mathrm{Rep}_{G^\lor}$ に対応する perverse sheaf $\mathcal{P}(V) \in P(\mathrm{Gr})$ のハイパーコホモロジーと、$V$ の基底ベクトル空間との間で自然な同型を確立する。
• 局所化定理と K\
• u\
• nneth 公式を含む $G(\overline{F}[[z]])$-不変コホモロジー技法を適用し、不変複体のコホモロジーを解析し、リー代数の正則元における特殊化により、通常のコホモロジーと関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $G(\mathbb{Z}_p)\backslash G(\mathbb{Q}_p)/G(\mathbb{Z}_p)$ のヘッケ代数と、コクイーラント格子の $W$-不変部分代数との間の Satake 同型は、アフィングラスマンニアン上の perverse sheaf を用いてどのように幾何的に実現できるか？
• RQ2 ループ群とその perverse sheaf の文脈における、幾何的 Langlands 対称性の背後にある正確な圏同値性は何か？
• RQ3 無限次元多様体 $\mathrm{Gr}$ 上の関数-層対応は、Langlands 双対群 $G^\lor$ 上の共役類関数をどのように回復するか？
• RQ4 $G^\lor$ の表現論は、$\mathrm{Gr}$ 上の $G(\overline{F}[[z]])$-不変 perverse sheaf の $G(\overline{F}[[z]])$-不変コホモロジーから再構成可能か？ もしそうならば、その方法は何か？
• RQ5 $T$-不変な perverse sheaf $M$ に対して、$T$-多様体 $Y$ 上の $H^\bullet_T(M)$ としての $T$-不変コホモロジーは、$H^\bullet(BT)$ 上の自由加群である。その正則点 $t \in \mathfrak{t}$ における特殊化は、$\mathrm{gr}^W H_t(M) \cong H^\bullet(M)$ を与え、これは $M$ の通常のコホモロジーに一致する。
• RQ6 局所化定理は、$t$ が正則である限り、$H_t(Y,M)$ を $Y^T$ への押し出し $i_!$ を通じて、固定点部分多様体 $Y^T$ のコホモロジーと同定する。
• RQ7 $T$-不変コホモロジーに対して K\
• RQ8 u\
• RQ9 nneth 公式 $H^\bullet_T(M \boxtimes M') \cong H^\bullet_T(M) \mathbin{\otimes_{H^\bullet(BT)}} H^\bullet_T(M')$ が成り立ち、空間の積のコホモロジーの分解を可能にする。

主な発見

• 圏のテンソル同値性 $P(\mathrm{Gr}) \simeq \mathrm{Rep}_{G^\lor}$ が存在し、Grothendieck 群に $\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{Z}} K(P(\mathrm{Gr})) \simeq \mathbb{C} \otimes_{\mathbb{Z}} K(\mathrm{Rep}_{G^\lor})$ の同型を誘導する。
• 表現 $V \in \mathrm{Rep}_{G^\lor}$ の基底ベクトル空間は、対応する perverse sheaf $\mathcal{P}(V) \in P(\mathrm{Gr})$ のハイパーコホモロジーと自然に同型であり、表現空間の幾何的実現を提供する。
• 関数-層対応により、各 perverse sheaf $\mathcal{F} \in P(\mathrm{Gr})$ に対して、$G(\mathbb{F}[[z]])$-不変関数が $G(\mathbb{F}((z)))/G(\mathbb{F}[[z]])$ 上に割り当てられ、この対応は $G^\lor$ 上の共役類関数の代数と同型を与える。
• $T$-不変な perverse sheaf $M$ に対して、$H^\bullet_T(M)$ は $H^\bullet(BT)$ 上の自由加群であり、正則点 $t \in \mathfrak{t}$ における特殊化により $\mathrm{gr}^W H_t(M) \cong H^\bullet(M)$ が得られ、これは通常のコホモロジー $H^\bullet(M)$ に一致する。
• 局所化定理により、$t$ が正則である限り、$H_t(Y,M)$ は $Y^T$ への押し出し $i_!$ を通じて、固定点部分多様体 $Y^T$ のコホモロジーと同定される。
• $T$-不変コホモロジーに対して K\
• u\
• nneth 公式 $H^\bullet_T(M \boxtimes M') \cong H^\bullet_T(M) \mathbin{\otimes_{H^\bullet(BT)}} H^\bullet_T(M')$ が成り立ち、空間の積のコホモロジーの分解を可能にする。