[論文レビュー] Expansion properties of metric spaces not admitting a coarse embedding into a Hilbert space

Mikhail I. Ostrovskii|ArXiv.org|Mar 3, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ヒルバート空間に粗い埋め込みをしない局所的に有限な距離空間において、弱い拡張性の性質を確立する。このような空間は、重み付き測度の下で制御された頂点境界の成長を示す部分グラフを含むことが示される。主な結果は、これらの部分グラフの拡張に類似した挙動に関する定量的下界であり、非埋め込み可能な空間が弱い拡張子を含むという予想を支持する。

ABSTRACT

The main purpose of the paper is to find some expansion properties of locally finite metric spaces which do not embed coarsely into a Hilbert space. The obtained result is used to show that infinite locally finite graphs excluding a minor embed coarsely into a Hilbert space. In an appendix a direct proof of the latter result is given.

研究の動機と目的

• ヒルバート空間への粗い埋め込みをしない局所的に有限な距離空間における拡張に類する性質を同定すること。
• このような空間が弱い拡張子族を含むかどうかを、幾何的群論および距離幾何学における長年の未解決問題として調査すること。
• L₁への粗い埋め込みに反する集合から導かれる部分グラフの定量的拡張条件を提供すること。
• 非粗い埋め込み可能な有界幾何の空間が弱い拡張子を含むという予想を、より弱いが定量的に制御された拡張性の性質を確立することで支持すること。
• 付録で、ある小を含まない無限の局所的に有限なグラフがヒルバート空間に粗く埋め込み可能であることを直接証明すること。

提案手法

• 空間 $M$ の有限部分集合 $M_n \subset M$ の列と、$M_n \times M_n$ 上の確率測度 $\mu_n$ を構成し、リプシッツ関数の $L_1$ ノルムに一様な上限が成り立つようにする。
• 距離 $d_M$ を用いて、距離 $s$ 以内の頂点間に辺を張るグラフ $G(n,s)$ を定義し、接続性を制御する。
• 測度 $\mu_n$ から導かれる重み付き測度 $\nu_n$ を $M_n$ 上に定義し、誘導部分グラフ $F$ における頂点境界 $\delta_F A$ を分析する。
• 良い部分グラフが存在しないと仮定し、低境界集合を反復して除去する排出プロセスを用いて矛盾を導く。
• $\theta \in \{-1,1\}^p$ でインデックス付けされた $1$-リプシッツ関数 $f_\theta$ を構成し、確率空間上で平均化することで $L_1$ に埋め込む。
• KPR93 の結果を適用してグラフを有界直径の成分に分解し、$L_1$-値関数の重み付き和を用いて $L_1$ への粗い埋め込みを構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルバート空間への粗い埋め込みをしない局所的に有限な距離空間は、その有限部分集合において何らかの形の拡張性を示すか？
• RQ2 完全な拡張子が存在しない場合でも、このような空間から導かれるグラフに対して弱い拡張性の性質を確立できるか？
• RQ3 重み付き測度の下で、誘導部分グラフにおける頂点境界の成長に定量的下界が存在するか？
• RQ4 L₁ への粗い埋め込みが不可能であることは、空間内に構造的拡張に類する特徴が存在することを示唆するか？
• RQ5 この枠組みを用いて、ある小を含まない無限の局所的に有限なグラフがヒルバート空間に粗く埋め込み可能であることを直接証明できるか？

主な発見

• $s > 8D$ かつ $2n > s$ のとき、グラフ $G(n,s)$ は、$d_M$-直径が少なくとも $n - s/2$ である誘導部分グラフ $F$ を含み、$F$ の任意の部分集合 $A$ で $d_M$-直径が小さいものに対して $\nu_n(\delta_F A) > \varphi(D,s)\nu_n(A)$ が成り立つ。ここで $\varphi(D,s) = \frac{s}{4D} - 2$ である。
• 拡張に類する条件は $n$ に対して一様であり、拡張係数 $\varphi(D,s)$ は $D$ と $s$ のみに依存し、$s$ に対して線形に増加する。
• この構成により、空間が $L_1$ に粗く埋め込まれる。埋め込みノルムは $||\varphi(u) - \varphi(v)||_{L_1} \leq 3d(u,v)$ を満たし、$d(u,v) \geq d_{2^i, r}$ のとき $||\varphi(u) - \varphi(v)||_{L_1} \geq (4/3)^i \varepsilon_r$ である。
• 証明により、ある小を含まない無限の局所的に有限なグラフは、付録で直接構成することでヒルバート空間に粗く埋め込み可能であることが示された。
• 非粗い埋め込み可能な有界幾何の空間が弱い拡張子を含むという予想を、より弱いが定量的に制御された拡張性の性質を証明することで支持する。
• 重要な不等式 $\int_{\Omega_\Delta} |F_{\Delta,u}| d\omega \geq \varepsilon_r \Delta$ により、埋め込みの $L_1$ ノルムが $\Delta$ と共に増加し、粗い埋め込み条件を満たすことが保証される。