[論文レビュー] Expansive Automorphisms on Locally Compact Groups

Riddh Shah|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2018

advanced mathematical theories参考文献 11被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、任意の連結で局所コンパクトな群が拡張的自己同型をもつならばその群は冪零であることを確立し、コンパクトまたは正規閉部分群による商に関して拡張性が持ち上がるという事実を示すことによって、拡張的自己同型をもつ局所コンパクト群の構造定理を提示する。さらに、非離散の局所コンパクト群は、拡張的かつ距離的（distal）な自己同型をもつことはできないことを証明する。

ABSTRACT

We show that any connected locally compact group which admits an expansive automorphism is nilpotent. We also show that for any locally compact group $G$, $α\in { m Aut}(G)$ is expansive if and only if for any $α$-invariant closed subgroup $H$ which is either compact or normal, the restriction of $α$ to $H$ is expansive and the quotient map on $G/H$ corresponding to $α$ is expansive. We get a structure theorem for locally compact groups admitting expansive automorphisms. We prove that an automorphism on a non-discrete locally compact group can not be both distal and expansive.

研究の動機と目的

• 連結で局所コンパクトな群に拡張的自己同型が存在する場合に課される構造的制約を特定すること。
• 既知のコンパクト群および完全不連結群における拡張的自己同型に関する結果を、すべての局所コンパクト群へ一般化すること。
• 商の力学と不変部分群を用いた拡張性の特徴づけを確立すること。
• 局所コンパクト群の自己同型における拡張性と距離的性の相違を調査すること。
• 非離散の局所コンパクト群は、拡張的かつ距離的な自己同型をもつことはできないことを証明すること。

提案手法

• リー代数と固有値解析を用いて、拡張的自己同型をもつ連結で局所コンパクトな群が冪零であることを証明する。
• 局所コンパクト群 G における自己同型 α が拡張的であるための必要十分条件として、α に関して不変な閉部分群 H（コンパクトまたは正規）に対して α|H が拡張的であり、かつ G/H への誘導写像が拡張的であることを示す。
• 閉 α 不変部分群に対する降鎖条件（d.c.c.）を用いて、特に有限次元およびソリノイド的状況において、拡張的系を特徴づける。
• 群に α が作用するもとで、連続する商が ℝⁿ またはコンパクトアーベル群に同型となるような、閉正規部分群の有限フィルトレーションを構成する。
• ℝⁿ およびコンパクトアーベル群上での α の力学を、不変部分空間と商写像を用いて分析し、拡張的性質を活用して可能な部分群を制限する。
• 既知の距離的自己同型およびそのスペクトル的性質（ノルムが 1 の固有値）を応用し、非離散群において拡張性と組み合わせたときの矛盾を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連結で局所コンパクトな群に拡張的自己同型が存在する場合、どのような構造的制約が課されるか？
• RQ2 局所コンパクト群における自己同型の拡張性が、コンパクトまたは正規閉部分群による商群にどのように伝わるか、どのような条件下で成立するか？
• RQ3 非離散の局所コンパクト群は、拡張的かつ距離的（distal）な自己同型をもつことはできるか？
• RQ4 拡張的自己同型をもつ局所コンパクト群の構造は、不変部分群と商の力学を用いてどのように分解できるか？
• RQ5 降鎖条件（d.c.c.）と拡張的性質との関係は、局所コンパクト群における自己同型の文脈でどのように解釈されるか？

主な発見

• 任意の連結で局所コンパクトな群が拡張的自己同型をもつならば、その群は冪零である。
• 局所コンパクト群 G における自己同型 α が拡張的であるための必要十分条件は、α に関して不変な閉部分群 H（コンパクトまたは正規）に対して α|H が拡張的であり、かつ G/H への誘導写像が拡張的であることである。
• 拡張的自己同型 α をもつ任意の局所コンパクト群 G に対して、連続する商が ℝⁿ またはコンパクトアーベル群に同型となるような閉正規部分群の有限フィルトレーションが存在し、これらの商群における誘導自己同型もすべて拡張的である。
• コンパクト連結アーベル群に制限された拡張的自己同型は、ソリノイド的系であり、このような系は降鎖条件を満たす。
• 非離散の局所コンパクト群における自己同型は、拡張的かつ距離的（distal）であることはできない。このような自己同型が存在するのは、群が離散である場合に限る。
• コンパクト群に拡張的自己同型が存在する場合、その系は降鎖条件を満たし、かつ自己同型はリー部分シフトに同相である。