[論文レビュー] Explicit Constructions of Two-Dimensional Reed-Solomon Codes in High Insertion and Deletion Noise Regime

Tai Do Duc, Shu Liu+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2019

Coding theory and cryptography参考文献 28被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、挿入・削除（insdel）誤りを訂正可能な2次元 Reed-Solomon コードの明示的構成を提示し、その性能が漸近的に Singleton 界に達することを示している。有限体における差集合や巡回的共役集合といった代数的構造を活用することで、著者らは $ d = 2n - 4 $ の insdel 距離を持つコードを構成し、$ n = \Theta(\sqrt{\log q}) $ の長さにおいて、従来の対数的性能に比べ顕著に向上した近似的に最適な誤り訂正性能を達成した。

ABSTRACT

Insertion and deletion (insdel for short) errors are synchronization errors in communication systems caused by the loss of positional information in the message. Reed-Solomon codes have gained a lot of interest due to its encoding simplicity, well structuredness and list-decoding capability in the classical setting. This interest also translates to the insdel metric setting, as the Guruswami-Sudan decoding algorithm can be utilized to provide a deletion correcting algorithm in the insdel metric. Nevertheless, there have been few studies on the insdel error-correcting capability of Reed-Solomon codes. Our main contributions in this paper are explicit constructions of two families of 2-dimensional Reed-Solomon codes with insdel error-correcting capabilities asymptotically reaching those provided by the Singleton bound. The first construction gives a family of Reed-Solomon codes with insdel error-correcting capability asymptotic to its length. The second construction provides a family of Reed Solomon codes with an exact insdel error-correcting capability up to its length. Both our constructions improve the previously known construction of 2-dimensional Reed-Solomon codes whose insdel error-correcting capability is only logarithmic on the code length.

研究の動機と目的

• 高頻度の挿入/削除ノイズ環境下における、高insdel誤り訂正能力を持つ Reed-Solomon コードの明示的構成の不足を解消すること。
• 従来の構成法がコード長に対して僅かに対数的誤り訂正能力しか達成できなかったという制限を克服すること。
• Singleton 界が示す理論的上限に近づく 2D Reed-Solomon コードの明示的構成を達成すること。
• 条件 $ q \geq n^2 $ の下で得られる上界と一致する $ d = 2n - 4 $ の insdel 距離を持つコードを構築するフレームワークを確立すること。
• DNA ストレージやレーストラックメモリなど、同期誤りに弱いシステムへの Reed-Solomon コードの適用範囲を拡張すること。

提案手法

• 差集合 $ T - T $ において、すべての非ゼロ要素が高々2回ずつしか出現しないように、$ \Theta(\sqrt{f}) $ のサイズを持つ $ T \subset \mathbb{Z}_f $ の部分集合を構成する。
• 巡回的共役集合と $ f $ を法とする原始根を用いて Reed-Solomon コードの評価点を定義し、代数的構造を保ちつつ insdel 距離を制御する。
• $ \mathbb{Z}_{r^2 + r + 1} $ における差集合の理論を応用し、$ |T| = r+1 $ となる部分集合 $ T $ を生成し、すべての非ゼロ差がちょうど1回ずつ出現することを保証する。
• $ q = p^s \equiv 1 \pmod{f} $ かつ $ s \geq \text{ord}_f(p) $ であることから、$ q > n^2 $ が保証され、これにより insdel 距離のタイトな上界が得られる。
• 構成されたコードの insdel 距離が正確に $ d = 2n - 4 $ に達することを証明し、$ q \geq n^2 $ の下で得られる Singleton 型不等式の上界と一致することを示す。
• Guruswami-Sudan のリストデコーディングアルゴリズムを insdel 距離に適合させ、構成されたコードの効率的デコーディングを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 明示的 2D Reed-Solomon コードを、Singleton 界に近い insdel 訂正能力で構成可能か？
• RQ2 制約 $ q \geq n^2 $ の下で、insdel 距離 $ d = 2n - 4 $ を達成する Reed-Solomon コードを構成するための代数的構造は何か？
• RQ3 有限巡回群における差集合をどのように活用し、高insdel距離を実現する評価点を設計できるか？
• RQ4 従来の $ k=2 $ の場合に知られていた $ \log_{k+1}n - 1 $ の insdel 距離を超えて、2D Reed-Solomon コードの insdel 距離を向上可能か？
• RQ5 insdel 距離の観点から、Reed-Solomon コードの双対符号との関係は何か？

主な発見

• 著者らは、$ q \geq n^2 $ の下で $ d \leq 2n - 4 $ という上界に達する 2D Reed-Solomon コードの族を構成し、理論的限界と一致した。
• コード長は $ n = \Theta(\sqrt{\log q}) $ であり、従来の対数的長さの構成法と比べてはるかに速く成長し、スケーラビリティが著しく向上した。
• 構成は明示的であり、$ f = \Theta\left(\log q\right) $ で $ q > n^2 $ を満たす原始根の存在に依存しており、これにより insdel 距離のタイトな上界が実現された。
• $ \mathbb{Z}_{r^2 + r + 1} $ における差集合構成により、$ T - T $ のすべての非ゼロ差がちょうど1回ずつ出現することが保証され、$ \mathbb{Z}_f $ においても多重度が有界に保たれる。
• 構成されたコードの insdel 誤り訂正能力は漸近的に $ n - 3 $ に達し、2D コードの Singleton 界の理論的最大値に近づいた。
• 本研究により、$ q \geq n^2 $ を満たす大きな体 $ \mathbb{F}_q $ 上の 2D Reed-Solomon コードは、完全な Singleton 界 $ d = 2n - 2k + 2 $ を達成できないことが示されたが、代わりに $ d = 2n - 4 $ がタイトな上限であることが判明した。