[論文レビュー] Explicit equations for mirror families to log Calabi-Yau surfaces

Lawrence Jack Barrott|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、特異点のないデル ペッツォ表面（次数 ≥2）で、反 canonical除集合が有理曲線のサイクルであるような対数ケーラー・ヤウ表面 (S,D) の鏡対称 Landau-Ginzburg モデルに対して、明示的な代数的方程式を構成する。グロス＝シーベルト計画とトロピカル幾何学を用いて、形式的鏡家族を既知の基底上での代数的家族へと上げ上げ、ジャコビアン環の次元チェックと組み合わせてその正しさを確認する。

ABSTRACT

Mirror symmetry for del Pezzo surfaces was studied by Auroux, Katzarkov and Orlov who suggested that the mirror should take the form of a Landau-Ginzburg model with a particular type of elliptic fibration. This problem was then considered again but from an algebro-geometric perspective by Gross, Hacking and Keel. Their construction allows one to construct a formal mirror family to a pair $(S,D)$ where $S$ is a smooth rational projective surface and $D$ a certain type of Weil divisor supporting an ample or anti-ample class. In the case of $S$ a Fano surface they proved that this family may be lifted to an algebraic family over an affine base. In this paper we perform this construction for all smooth del Pezzo surfaces of degree at least two and obtain explicit equations for the mirror families and explain some of the motivation for their construction. We also provide an implementation of the Kontsevich Soibelman lemma in Sage.

研究の動機と目的

• 次数 ≥2 で、反 canonical 除集合が有理曲線のサイクルである特異点のないデル ペッツォ表面 S を持つ対数ケーラー・ヤウ表面 (S,D) の鏡対称 Landau-Ginzburg モデルの明示的代数的方程式を構成すること。
• グロス、ハッキング、キールが提案した形式的鏡家族を、D の自己交叉行列が負半定でない場合に、Spec k[NE(S)] 上の代数的家族へと拡張すること。
• グロス＝シーベルト計画とトロピカル化を用いて、次数 ≥2 のすべてのデル ペッツォ表面に対して、鏡家族の明示的方程式を提供すること。
• 超ポテンシャルのジャコビアン環の次元を用いた推計的整合性の確認を通じて、構築された鏡家族の正しさを検証すること。

提案手法

• SYZ予想をトロピカル化し、底空間 B 上の分かちがけ関数を用いて鏡を構成するグロス＝シーベルト計画を用いる。
• n 頂点（平面のサイクル）の上での形式的滑らか化を Spec k[[NE(S)]) 上で行い、D の自己交叉行列が負半定でない場合には、それを Spec k[NE(S)] 上の代数的家族へと上げ上げる。
• アフィン空間内の明示的多項式方程式によって定義される多様体の族として鏡を構成し、超ポテンシャルをトーリック除集合に対応する座標の和として与える。
• トロピカル曲線と折れた線（broken lines）を用いて、マスロフ指数 0 のディスクをモデル化し、散乱図の接合データを制御する。
• Sage を用いて、偏微分の 3×4 行列の零化因子を求める方法で、超ポテンシャルのジャコビアン環を計算する。
• 量子コホモロジーの期待ランク（次数 d のデル ペッツォ表面では 12−d）と一致することを確認することで、鏡の正しさを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 D の自己交叉行列が負半定でない場合に、グロス、ハッキング、キールが Looijenga 対 (S,D) に対して構築した形式的鏡家族が、Spec k[NE(S)] 上の代数的家族へと上げ上げ可能か？
• RQ2 次数 2 以上のすべての特異点のないデル ペッツォ表面に対して、反 canonical 除集合が有理曲線のサイクルである場合の、鏡対称 Landau-Ginzburg モデルを定義する明示的代数的方程式は何か？
• RQ3 鏡家族上の超ポテンシャルのジャコビアン環の次元は、元のデル ペッツォ表面の量子コホモロジーのランクと一致するか？
• RQ4 ジャコビアン環の次元といった推計的データを用いて、鏡の構成を体系的に検証する方法は何か？

主な発見

• 次数 2 のデル ペッツォ表面（dP₂）の鏡家族は、A⁴ における定義方程式を明示的に構成し、超ポテンシャルのジャコビアン環が 10 次元であることが計算され、期待されるランク 12−2=10 と一致する。
• D の自己交叉行列が非負半定である条件のもとで、すべての次数 ≥2 のデル ペッツォ表面に対して、鏡家族が Spec k[NE(S)] 上の代数的家族として正しく構成されていることが確認された。
• dP₂ に対して、超ポテンシャルの臨界点を定義する方程式系は、10 次元の商環を生成し、これは量子コホモロジーのランクと整合的である。
• 形式的鏡を代数的家族へと上げ上げる方法が成功し、対数ケーラー・ヤウ表面に対するグロス＝シーベルト鏡対称性計画の明確な実装が得られた。
• Sage を用いたジャコビアン環の計算により、dP₂ に対して鏡家族の正しさが確認され、この構成が望ましい鏡家族をもたらすというより広範な主張を支持する。