[論文レビュー] Explicit examples of equivalence relations and factors with prescribed fundamental group and outer automorphism group

Steven Deprez|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2010

Advanced Operator Algebra Research参考文献 25被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、一般化されたコインダクティブ作用とコycle超剛性を用いて、所望の基本群および外部自己同型群を備えたII₁因子およびII₁同値関係の明示的構成を提示する。また、すべての第二可算なユニモジュラー局所コンパクト群がII₁同値関係の外部自己同型群として現れることを確立し、SL±ₙ(ℝ)のような特定の群に対しては、同じことがII₁因子に対しても成り立つことが示され、長年の存在問題が明示的例によって解決された。

ABSTRACT

In this paper we give a number of explicit constructions for II$_1$ factors and II$_1$ equivalence relations that have prescribed fundamental group and outer automorphism group. We construct factors and relations that have uncountable fundamental group different from $\IRpos$. In fact, given any II$_1$ equivalence relation, we construct a II$_1$ factor with the same fundamental group. Given any locally compact unimodular second countable group $G$, our construction gives a II$_1$ equivalence relation $\RelR$ whose outer automorphism group is $G$. The same construction does not give a II$_1$ factor with $G$ as outer automorphism group, but when $G$ is a compact group or if $G=\SL^{\pm}_n\IR=\{g\in\GL_n\IR\mid \det(g)=\pm1\}$, then we still find a type II$_1$ factor whose outer automorphism group is $G$.

研究の動機と目的

• 抽象的な存在結果にとどまらず、所望の基本群および外部自己同型群を備えたII₁因子および同値関係の明示的構成を提供すること。
• ℝ₊⁎とは異なる非可算な基本群がII₁因子に現える可能性があるかどうかという長年の未解決問題に取り組むこと。
• すべての第二可算なユニモジュラー局所コンパクト群が、II₁同値関係の外部自己同型群として現れることを示すこと。
• 特にコンパクト群やSL±ₙ(ℝ)に対して、このような群がII₁因子の外部自己同型群として現れる条件を特定すること。
• 同値関係の基本群と因子の基本群との間の関係を、カルタンの保存に関する結果を通じて確立すること。

提案手法

• 可算集合上の推移的群作用とコycleを用いて構成された、群が確率空間上に作用する一般化されたコインダクティブ作用を用いる。
• 半有限設定におけるコycle超剛性およびインターウェーブィング技法を適用し、得られるフォン・ノイマン代数の構造を制御する。
• 固定されたコycle ω:Λ×I→Λ₀を用いて、積空間 (Y₀,ν₀)ᴵ 上の作用を定義し、弱混合性および中心化子の制御を確保する。
• 安定化子および軌道構造に関して推移性および全射性の条件が満たされれば、作用の中心化子が基本作用の中心化子と同型であることを証明する。
• 一般化されたコインダクティブ構成を用いて、任意の第二可算なユニモジュラー局所コンパクト群をII₁同値関係の外部自己同型群として実現する。
• 群がコンパクトまたはSL±ₙ(ℝ)である場合に、この方法をII₁因子に適応し、特定の群論的性質を活用して外部自己同型群が目的の群と一致することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℝ₊⁎とは異なる非可算な基本群を備えたII₁因子の明示的例を構成できるか？
• RQ2 どの第二可算なユニモジュラー局所コンパクト群がII₁同値関係の外部自己同型群として現れるか？
• RQ3 どの群Gに対して、Out(M) ≅ G を満たすII₁因子を明示的に構成できるか？
• RQ4 II₁同値関係によって実現可能なすべての基本群が、II₁因子の基本群としても現れるか？
• RQ5 一般化されたコインダクティブ作用の構成が、所望の外部自己同型群を実現するために必要な中心化子構造を保存する条件は何か？

主な発見

• 本稿では、ℝ₊⁎とは異なる非可算な基本群を備えたII₁因子の明示的例が構成され、長年の存在問題が明示的実現により解決された。
• 第二可算なユニモジュラー局所コンパクト群は、すべて一般化されたコインダクティブ作用の構成によってII₁同値関係の外部自己同型群として現れる。
• コンパクト群やSL±ₙ(ℝ)に対しては、同じ構成により所望の外部自己同型群を備えたII₁因子が得られ、一般適用性を超えて拡張された。
• 任意のII₁同値関係の基本群は、II₁因子の基本群としても実現され、両者のクラスの間の直接的な関係が確立された。
• 推移性および軌道の条件が満たされれば、一般化されたコインダクティブ作用の中心化子は、基本作用の中心化子と同型であり、自己同型群に対する正確な制御が可能になる。
• 本構成は、群作用とコycleを用いて、基本群および外部自己同型群の両方を明示的に制御可能な柔軟な例のクラスを提供する。