[論文レビュー] Explicit formulas of Euler sums via multiple zeta values

Ce Xu, Weiping Wang|arXiv (Cornell University)|May 17, 2018

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ひとこと要約

本稿では、置換と合成を用いて、オイラー和および交項オイラー和をそれぞれ有理数係数の多重ゼータ値（MZV）および交項MZVの線形結合として明示的な公式で表現する手法を提示する。主な貢献は、非交項の場合には重み11まで、交項の場合には重み6まで、すべてのこのような和をMZVに還元する体系的な手法の確立であり、重み11までの非交項および重み6までの交項の場合に適用可能なMapleパッケージを併記する。

ABSTRACT

Flajolet and Salvy pointed out that every Euler sum is a $\mathbb{Q}$-linear combination of multiple zeta values. However, in the literature, there is no formula completely revealing this relation. In this paper, using permutations and compositions, we establish two explicit formulas for the Euler sums, and show that all the Euler sums are indeed expressible in terms of MZVs. Moreover, we apply this method to the alternating Euler sums, and show that all the alternating Euler sums are reducible to alternating MZVs. Some famous results, such as the Euler theorem, the Borwein--Borwein--Girgensohn theorems, and the Flajolet--Salvy theorems can be obtained directly from our theory. Some other special cases, such as the explicit expressions of $S_{r^m,q}$, $S_{r^m,\bar{q}}$, $S_{\bar{r}^m,q}$ and $S_{\bar{r}^m,\bar{q}}$, are also presented here. The corresponding Maple programs are developed to help us compute all the sums of weight $w\leq 11$ for non-alternating case and of weight $w\leq 6$ for alternating case.

研究の動機と目的

• すべてのオイラー和を有理数係数の多重ゼータ値（MZV）の線形結合として表す一般の明示的公式を求める、長年の未解決問題を解消すること。
• この枠組みを交項オイラー和へ拡張し、それらが交項MZVに還元可能であることを示すこと。
• オイラーの定理、ボーヴァー＝ボーヴァー＝ギルゲンゾーンの定理、フラジョレット＝サルヴィの定理といった有名な結果を再現する統一的な理論的基盤を提供すること。
• 非交項の場合には重み11まで、交項の場合には重み6まで、特定のオイラー和（例：$S_{r^m,q}$、$S_{\bar{r}^m,q}$）の明示的評価を計算・表形式で提示すること。
• 導出された明示的公式に基づき、オイラー和の自動評価を可能にするMapleパッケージの開発を行うこと。

提案手法

• 整数の置換と合成を用いて、オイラー和の構造を分解し、明示的な代数的恒等式を導出する。
• 入れ子和の準シャッフル代数を用いて、調和数とゼータ値の間の代数的関係をモデル化する。
• オイラー和の被乗数を、組合せ的分解によりMZV基底要素の線形結合として表現する。
• 記号計算技術を用いて、調和数の積を再帰的分解によりMZVの組み合わせに体系的に還元する。
• 導出された公式をカスタムMapleパッケージに実装し、重み$ w \leq 11 $（非交項）および$ w \leq 6 $（交項）のすべてのオイラー和の計算を可能にする。
• 既知のMZVおよび交項MZVに関する結果を活用して、還元プロセスの検証とキャリブレーションを行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのオイラー和は、一般の公式を用いて有理数係数の多重ゼータ値（MZV）の線形結合として明示的に表現可能か？
• RQ2 交項オイラー和は、どの程度まで交項多重ゼータ値に還元可能か？
• RQ3 置換と合成を用いて、オイラー和における調和数の積の構造をどのように体系的に分解できるか？
• RQ4 与えられた重みのすべてのオイラー和を表現するのに必要な基底要素の完全な集合は何か？
• RQ5 指定された重みまで自動的にオイラー和を評価可能な計算フレームワークを構築可能か？

主な発見

• 重み$ w \leq 11 $のすべての非交項オイラー和は、有理数係数のMZVの線形結合として表現可能であり、重み3から11までの完全な基底が提供されている。
• 重み$ w \leq 6 $のすべての交項オイラー和は、交項MZVに還元可能であり、表1に18個の特定の和について明示的な評価が示されている。
• 本手法により、オイラーの公式$ \zeta(2,1) = \zeta(3) $、2次和に関するボーヴァー＝ボーヴァー＝ギルゲンゾーンの定理、フラジョレット＝サルヴィの一般還元定理といった古典的結果が再現されている。
• 本稿では、$ S_{r^m,q} $、$ S_{\bar{r}^m,q} $、$ S_{r^m,\bar{q}} $、$ S_{\bar{r}^m,\bar{q}} $といった特別な族の明示的閉形式表現が提供されており、具体的な評価が示されている。
• 重み$ w \leq 11 $（非交項）および$ w \leq 6 $（交項）のすべてのオイラー和を計算可能なMapleパッケージが開発・検証され、自動評価が可能である。
• $ S_{1^4,\bar{2}} $、$ S_{1^2 2,\bar{2}} $、$ S_{2^2,\bar{2}} $といった特定の和の評価が有理数係数を伴って明示的に計算され、表形式で提示されている。