[論文レビュー] Computer Algebra Algorithms for Special Functions in Particle Physics

Jakob Ablinger|arXiv (Cornell University)|May 3, 2013

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ひとこと要約

本稿では、量子場の理論における高次の摂動計算に頻出する、調和的級数、S級数、調和的多重対数関数、多重対数関数などのネストされた和および反復積分を扱う高度なコンピュータ代数アルゴリズムを提示する。これらの対象間の代数的・構造的関係を確立し、漸近展開や巡回的S級数への変換のためのアルゴリズムを開発し、HarmonicSumsおよびMultiIntegrateパッケージに実装することで、素粒子物理学の振幅における効率的な記号計算を可能にする。

ABSTRACT

This work deals with special nested objects arising in massive higher order perturbative calculations in renormalizable quantum field theories. On the one hand we work with nested sums such as harmonic sums and their generalizations (S-sums, cyclotomic harmonic sums, cyclotomic S-sums) and on the other hand we treat iterated integrals of the Poincaré and Chen-type, such as harmonic polylogarithms and their generalizations (multiple polylogarithms, cyclotomic harmonic polylogarithms). The iterated integrals are connected to the nested sums via (generalizations of) the Mellin-transformation and we show how this transformation can be computed. We derive algebraic and structural relations between the nested sums as well as relations between the values of the sums at infinity and connected to it the values of the iterated integrals evaluated at special constants. In addition we state algorithms to compute asymptotic expansions of these nested objects and we state an algorithm which rewrites certain types of nested sums into expressions in terms of cyclotomic S-sums. Moreover we summarize the main functionality of the computer algebra package HarmonicSums in which all these algorithms and transformations are implemented. Furthermore, we present application of and enhancements of the multivariate Almkvist-Zeilberger algorithm to certain types of Feynman integrals and the corresponding computer algebra package MultiIntegrate.

研究の動機と目的

• 可重整化量子場理論における質量を伴う高次の摂動計算において、ネストされた和および反復積分を扱う記号的アルゴリズムを開発すること。
• 調和的級数（例：調和的級数、S級数）とその無限大における値、およびそれらと調和的多重対数関数のような反復積分との間の代数的・構造的関係を確立すること。
• 高エネルギー物理学の応用に適した、これらの特殊関数の効率的な漸近展開計算を可能にするもの。
• HarmonicSumsおよびMultiIntegrateコンピュータ代数パッケージにすべてのアルゴリズムを実装し、素粒子物理学の振幅における実用的利用を可能にすること。
• 特定のクラスのフェニマン積分を記号的に評価するための多変数Almkvist-Zeilbergerアルゴリズムの拡張。

提案手法

• Poincaré型およびChen型の反復積分とネストされた和を結びつけるために、ミンス変換およびその一般化を用いる。
• 差分方程式および微分方程式を用いて、調和的級数および多重対数関数の間の代数的・構造的恒等式を導出する。
• ネストされた和および多重対数関数（巡回的一般化を含む）の理論を応用し、物理的振幅をモデル化する。
• 階乗級数および拡張された調和的多重対数関数を用いた漸近展開のアルゴリズムを開発する。
• 特定のネストされた和を巡回的S級数の表現に再書き換えする変換アルゴリズムを導入し、記号計算の簡略化を図る。
• 特定の多変数超幾何型フェニマン積分を扱えるように、多変数Almkvist-Zeilbergerアルゴリズムを強化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ミンス変換を介して、調和的級数やS級数といったネストされた和を、調和的多重対数関数のような反復積分に体系的に関連付ける方法は何か？
• RQ2 ネストされた和とその無限大における値の間にはどのような代数的・構造的恒等式が存在するのか。それらは反復積分における特別な定数とどのように関係するか？
• RQ3 高エネルギー物理学の計算において、ネストされた和および対数関数の効率的な漸近展開を可能にするアルゴリズム的手法は何か？
• RQ4 特定のネストされた和を、巡回的S級数を含む表現に変換することで、記号計算を簡略化する方法は何か？
• RQ5 多変数Almkvist-Zeilbergerアルゴリズムは、特定のクラスのフェニマン積分を記号的に計算するために、どのように拡張可能か？

主な発見

• ミンス変換は、ネストされた和と反復積分の間の体系的な橋渡しを提供し、物理的振幅の記号的評価を可能にする。
• 調和的級数と対数関数の間の代数的および微分的関係が導出され、引数変換下での二重化や関数的恒等式を含む。
• 階乗級数および拡張された調和的多重対数関数を用いた調和的級数および多重対数関数の漸近展開が計算され、明示的な収束性が確立された。
• 特定のネストされた和を巡回的S級数の表現に再書き換える変換アルゴリズムが実装され、複雑さが低減され、計算効率が向上した。
• HarmonicSumsパッケージは、すべてのコアアルゴリズムを実装しており、量子場の理論における特殊関数の自動記号計算を可能にしている。
• 強化された多変数Almkvist-Zeilberger技術に基づくMultiIntegrateパッケージは、記号的パラメータを伴う多ループフェニマン積分を評価する体系的なアプローチを提供している。