[論文レビュー] Explicit invariant measures for infinite dimensional SDE driven by Lévy noise with dissipative nonlinear drift I

Sergio Albeverio, Luca Di Persio+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 92被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、発散的非線形ドリフトとLévyノイズによって駆動される無限次元確率偏微分方程式（SPDE）に対して、解の存在および一意性を確立する。解を定常成分と時間の無限大において$L^p$ノルムで消える一時的成分に分解することを証明し、定常成分の分布を一意不変測度として同定する。これは、従来のガウスノイズ設定からLévyノイズ設定への拡張を実現する。

ABSTRACT

We stu\dd y a class of nonlinear stochastic partial differential equations with dissipative nonlinear drift, driven by Lévy noise. Our work is divided in two parts. In the present part I we first define a Hilbert-Banach setting in which we can prove existence and uniqueness of solutions under general assumptions on the drift and the Lévy noise. We then prove a decomposition of the solution process in a stationary component and a component which vanishes asymptotically for large times in the $L^p-$sense, $p\geq1$. The law of the stationary component is identified with the unique invariant probability measure of the process. In part II we will exhibit the invariant measure as the limit of explicit invariant measures for finite dimensional approximants.

研究の動機と目的

• ヒルベルト＝バナッハ枠組みにおいて、非有界な線形および非線形ドリフト項（多項式成長を伴う）を扱うことで、発散的非線形ドリフトとLévyノイズを有するSPDEの解の存在および一意性を確立する。
• 解過程を、$p \geq 1$ において時間の無限大で$L^p$ノルムで漸近的に消える定常成分と一時的成分に分解する。
• 定常成分の分布を、過程の唯一の不変確率測度として同定する。
• 第II部の基礎を築くこと、特に不変測度が明示的な有限次元近似列の極限として得られることを示す。

提案手法

• 非有界な線形および非線形ドリフト項（多項式成長を伴う）を扱えるヒルベルト＝バナッハ枠組みを形式化する。
• 非線形ドリフト項にヨシダ近似を適用し、有限次元射影を用いて二重インデックス近似列を構成する。
• 確率的畳み込み理論とグロワールド型推移を用いて、$L^p$ノルムにおける解の成長を制御する。
• $r^{(n)}_m$ および $v^{(n)}_m$ の近似列が、$L^p(\Omega; C([0,T]; \mathcal{B}))$ において定常過程 $r$ および消える過程 $v$ に収束することを証明する。
• 一様なバウンディングとコンパクトネスの議論を用いて、$\mathbb{E}|v(t)|^p$ が $t \to \infty$ でゼロに漸近的に減少することを確立する。
• 定常性 $r(t)$ と不変測度の一意性を活用し、$\mathcal{L}(r(t))$ が全過程の唯一の不変測度であることを同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 発散的非線形ドリフトとLévyノイズによって駆動される無限次元SPDEに対して、一意な不変測度を同定できるか？
• RQ2 解過程は、$t \to \infty$ において$L^p$ノルムで消える定常成分と一時的成分に分解可能か？
• RQ3 定常成分の分布は、過程の唯一の不変測度に等しいか？
• RQ4 有限次元の明示的測度を用いて不変測度をどのように近似できるか。特に、Lévyノイズを伴うオーナンシュタイン＝ウーレンバック過程との関係は？

主な発見

• 解過程は $X(t) = r(t) + v(t)$ の分解を有し、$r(t)$ は定常的であり、すべての $p \geq 1$ に対して $\lim_{t \to \infty} \mathbb{E}|v(t)|^p = 0$ を満たす。
• 定常成分 $r(t)$ の分布 $\mathcal{L}(r(t))$ は、過程 $(X(t))_{t \geq 0}$ の唯一の不変確率測度である。
• $r^{(n)}_m$ および $v^{(n)}_m$ の有限次元近似列が、すべての $T > 0$ および $p \geq 1$ に対して $L^p(\Omega; C([0,T]; \mathcal{B}))$ において $r$ および $v$ に収束することが確立された。
• 証明は、グロワールド型推移による一様バウンディングと、確率的畳み込み理論を用いてノイズおよびドリフト項を制御することに依拠する。
• 一時的成分の漸近的減衰のおかげで、不変測度は初期条件に依存しないことが示された。
• 従来のガウスノイズに関する結果をLévyノイズ設定に一般化した。これには、FitzHugh-Nagumo SPDE や確率的量子化方程式などのモデルに応用が可能である。