[論文レビュー] Explicit (Polynomial!) Expressions for the Expectation, Variance and Higher Moments of the Size of a (2n + 1, 2n + 3)-core partition with Distinct Parts

Anthony Zaleski, Doron Zeilberger|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2016

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、記号計算と実験的数学の手法を用いて、(2n+1, 2n+3)-コア分割で相異なる部分を持つものの、サイズの期待値、分散、および7次のモーメントまでの明示的な多項式表現を提供する。これらのモーメントがnの多項式であることが確認され、極限分布が正規でないことが示され、モーメントから導かれるスケーリングされた歪度および尖度の極限が特定されている。

ABSTRACT

Inspired by Armin Straub's conjecture (arXiv:1601.07161) about the number and maximal size of (2n+1, 2n+3)-core partitions with distinct parts, we develop relatively efficient, symbolic-computational algorithms, based on non-linear functional recurrences, to generate the generating functions, according to size, of the set of such partitions. By computing these polynomials for n=1,...21, we are able to rigorously derive explicit expressions for the expectation, variance, and third through seventh moments of the random variable "size of a (2n+1, 2n+3)-core partition with distinct parts." In particular, we find that this random variable is not asymptotically normal as n goes to infinity.

研究の動機と目的

• 相異なる部分を持つ(2n+1, 2n+3)-コア分割のサイズの期待値、分散、および高次モーメントの明示的多項式表現を導出すること。
• これらのモーメントが、(s,s+1)-コアの場合に見られるフィボナッチに基づく表現とは対照的に、nの多項式であることを示すこと。
• アーミン・ストローブが提唱した、このような分割の数および最大サイズに関する予想の、複雑な組合せ的証明の代わりに、より高速で公理的整合性を持つ代替手法を提供すること。
• 非線形関数的再帰を用いて、最初の21個のストローブ多項式S_n(q)、つまりこれらの分割の母関数を計算すること。
• サイズ確率変数の極限分布を調査し、スケーリングされたモーメントを計算することで、非正規性を明らかにすること。

提案手法

• 著者たちは、Mapleパッケージ `Armin.txt` および `core.txt` を用いた記号計算により、最初の21個のストローブ多項式S_n(q)を生成し、これは相異なる部分を持つ(2n+1, 2n+3)-コア分割の母関数を符号化している。
• S_n(q)にアンブレル作用素(q\frac{d}{dq})^kを作用させ、q=1で評価し、4^nで正規化することで、原モーメントを抽出する。
• 得られたモーメントは、S_n(q)から得られる数列を用いてnにおける多項式形式にフィットさせ、n=21まで次数が確認されている。
• この手法は実験的数学に依拠しており、数列の経験的フィッティングを、十分多くの値について多項式恒等式の検証によって後から公理的に正当化する。
• S_n(q)の非線形関数的再帰を用いることで、直接的な列挙を避けて、多項式を効率的に計算する。
• スケーリングされた高次モーメント（歪度、尖度）の極限は、標準化されたモーメントの多項式表現から計算される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相異なる部分を持つ(2n+1, 2n+3)-コア分割のサイズの期待値、分散、および高次モーメントの明示的多項式表現は何か？
• RQ2 このような分割のサイズの極限分布は正規分布か、それとも非正規的特性を示すか？
• RQ3 サイズ分布の3次から7次までのモーメント（歪度および尖度）の正確なスケーリング極限値は何か？
• RQ4 このような分割の予想される最大サイズは、記号計算と多項式フィッティングを用いて、厳密に確認可能か？
• RQ5 サイズ分布のモーメントはnの多項式的依存性を示すか？その次数は何か？

主な発見

• 相異なる部分を持つ(2n+1, 2n+3)-コア分割のサイズの期待値は、nに関する3次多項式として与えられ、明示的にμ(n) = \frac{1}{24}(5n^3 + 15n^2 + 10n)として計算されている。
• 分散はnに関する6次多項式であり、2次モーメントと平均の平方から導出されており、n=21まで確認されている。
• 変動係数のスケーリング極限は\sqrt{14010}/150 \approx 0.789092305であり、極限分布が正規でないことを示唆している。
• 3次モーメント（歪度）のスケーリング極限は\frac{396793}{390815488} \cdot \sqrt{467 \cdot 7680} \approx 1.92278748であり、極限分布の非対称性を確認している。
• 4次モーメント（尖度）のスケーリング極限は145309380/16792853 \approx 8.6530490であり、正規分布の尖度を著しく上回っている。
• このような分割の最大サイズは4次多項式\frac{1}{24}(5n+11)n(n+2)(n+1)として与えられ、S_n(q)の次数からn=21まで確認されている。