[論文レビュー] Explicit Representations of Green's Function for Linear Fractional Differential Operator with Variable Coefficients

Myong-Ha Kim, O Hyong-Chol|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2012

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 8被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、変数係数を伴う線形分数階微分作用素のグリーン関数の明示的解析的表現を、リーマン・リウビル微分を用いて提示する。[0, ∞) 上で連続な係数を仮定してこれらの表現を導出することで、古典的なグリーン関数法を変数係数を伴う分数階方程式へと拡張し、一般型の非同次分数階微分方程式に対する明示的解の導出を可能にする。

ABSTRACT

We provide explicit representations of Green's functions for general linear fractional differential operators with {\it variable coefficients} and Riemann-Liouvilles derivatives. We assume that all their coefficients are continuous in $[0, \infty)$. Using the explicit representations for Green's function, we obtain explicit representations for solution of inhomogeneous fractional differential equation with variable coefficients of general type. Therefore the method of Green's function, which was developed in previous research for solution of fractional differential equation with constant coefficients, is extended to the case of fractional differential equations with {\it variable coefficients}.

研究の動機と目的

• 定数係数から変数係数へのグリーン関数法の拡張を図ること。
• 変数係数を伴う線形非同次分数階微分方程式に対する明示的解法の欠如に応えること。
• 係数に対する最小限の正則性仮定のもとでグリーン関数を構成する体系的な枠組みを提供すること。
• 分数階微分法における既存の手法を、連続な変数係数を有するより広範な作用素のクラスへ一般化すること。

提案手法

• リーマン・リウビル分数階微分の性質を用いて、グリーン関数の明示的積分表現を導出すること。
• 解の存在性と正則性を保証するため、区間 [0, ∞) 上ですべての係数が連続であると仮定すること。
• 分数階微分作用素に特化した生成関数法および積分変換技法の応用。
• デルタ関数源を伴う対応する同次方程式の解としてグリーン関数を構成すること。
• グリーン関数を用いて、非同次分数階微分方程式の一般解を畳み込み積で表現すること。
• 定数係数の場合に既知の結果と整合することを確認することで、解構造の妥当性を検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変数係数を伴う線形分数階微分作用素に対して、グリーン関数をどのように明示的に構成できるか。
• RQ2 変数係数の場合に、グリーン関数の存在性と正則性を保証する係数に関する条件は何か。
• RQ3 古典的グリーン関数法を非定数係数を伴う分数階微分方程式へ拡張できるか。
• RQ4 連続な変数係数を有する一般型リーマン・リウビル型分数階作用素に対するグリーン関数の明示的積分形は何か。
• RQ5 導出されたグリーン関数を用いて、変数係数を伴う非同次分数階微分方程式の解をどのように表現できるか。

主な発見

• 一般の線形分数階微分作用素（変数係数）に対して、グリーン関数の明示的閉形式表現が導出された。
• すべての係数が [0, ∞) 上で連続であると仮定することで、グリーン関数が連続な積分作用素として構成された。
• 変数係数を伴う非同次分数階微分方程式の解は、グリーン関数と非同次項との畳み込み積として表現された。
• 本手法により定数係数の場合が包括され、変数係数分数階方程式の統一的枠組みが提供された。
• 導出されたグリーン関数は、任意の順序のリーマン・リウビル微分作用素に適用可能であり、従来の定数係数に限られた結果を拡張した。
• 定数係数極限において既知の結果と整合することが確認され、正しさが裏付けられた。