[論文レビュー] The Laplace Transform Method for Linear Differential Equations of the Fractional Order

Igor Podlubný|ArXiv.org|Oct 30, 1997

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 2被引用数 173

ひとこと要約

本稿では、定数係数をもつ線形分数階微分方程式を解くための体系的でラプラス変換に基づく手法を提案する。この手法は二パラメータのミタグ・レフラー関数とそのラプラス変換を活用し、n項方程式の分数階グリーン関数の一般式を導出することに主な貢献をおくる。これにより、級数の逆変換を用いた解析的解法が可能となり、標準的および逐次的分数階微分への応用範囲が拡張される。

ABSTRACT

The Laplace transform method for solving of a wide class of initial value problems for fractional differential equations is introduced. The method is based on the Laplace transform of the Mittag-Leffler function in two parameters. To extend the proposed method for the case of so-called "sequential" fractional differential equations, the Laplace transform for the ''sequential'' fractional derivative is also obtained. Besides that, tools necessary for testing candidate solutions by direct substitution in corresponding equations are introduced: fractional derivatives of the Mittag-Leffler function and the rule for the fractional differentiation of integrals depending on a parameter. Definition of the fractional Green's function is given and some of its properties, necessary for constructing solutions of initial-value problems for fractional linear differential equations, are presented. Explicit expressions for the fractional Green's function for the special cases of one-, two-, three- and four-term equations are given, as well as the explicit expression for an arbitrary n-term fractional linear ordinary differential equation with constant coefficients. Several examples of solution of various types of fractional differential equations, including fractional diffusion-wave equation. The bibliography (54 items) covers many field of possible application of fractional derivatives.

研究の動機と目的

• 任意の実数階微分の線形分数階微分方程式を統一的かつ効果的に解くための手法を開発すること。
• 系列展開や反復法といった従来の手法に見られる限界（複雑な方程式に対して非効率）を克服すること。
• 初期値問題に対して、ラプラス変換とミタグ・レフラー関数を用いた体系的かつ一貫したアプローチを提供すること。
• さまざまなn項方程式に対して、分数階グリーン関数を定義し、明示的な式を導出すること。
• 標準的および逐次的分数階微分の両方の形式にこの手法を拡張し、解構造の一貫性を保証すること。

提案手法

• 二パラメータのミタグ・レフラー関数 $ E_{\alpha,\beta}(z) $ のラプラス変換を用い、積分変換から導出される。
• 特に逐次的微分作用素に対して、分数階微分のラプラス変換を用いて解のカーネルを導出する。
• 逆ラプラス変換を用いた一般解フレームワークを確立し、$ \beta_n > \cdots > \beta_0 $ を満たす $ g_n(p) = \left(\sum_{k=0}^n a_k p^{\beta_k}\right)^{-1} $ の解としてのリゾルベントを用いる。
• 多項係数と一般化されたミタグ・レフラー関数を含む級数として解を表現し、逐次的逆変換が可能になる。
• 候補解の検証に用いるツールとして、ミタグ・レフラー関数の分数階微分およびパラメータ依存積分の微分法則を統合する。
• 1〜4項方程式に対して、分数階グリーン関数の明示的公式を導出し、一般n項式にまで一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の実数階微分をもつ線形分数階微分方程式を解くために、ラプラス変換を体系的に応用する方法は何か？
• RQ2 定数係数をもつ一般n項線形分数階微分方程式の分数階グリーン関数の構造はいかなるものか？
• RQ3 標準的および逐次的分数階微分の間で解はどのように異なるのか。両者に共通する構造的特徴は何か？
• RQ4 ミタグ・レフラー関数およびそのラプラス変換を用いて、初期値問題の閉形式解を導出できるか？
• RQ5 Wright関数および多項係数展開は、分数階ラプラス変換の逆変換プロセスにおいて果たす役割は何か？

主な発見

• 二パラメータのミタグ・レフラー関数 $ E_{\alpha,\beta}(z) $ のラプラス変換が導出され、分数階微分方程式の解法における基盤的ツールとして用いられる。
• 1〜4項方程式に対して、分数階グリーン関数の明示的表現が得られ、一般n項の場合には多項係数を含む級数として表現される。
• n項方程式 $ \sum_{k=0}^n a_k D^{\beta_k} y(t) = f(t) $ の解は、$ y(t) = \int_0^t G_n(t-\tau) f(\tau) d\tau $ として与えられ、ここで $ G_n(t) $ は分数階グリーン関数である。
• 一般n項方程式の分数階グリーン関数は、$ G_n(t) = \frac{1}{a_n} \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m!} \sum_{\substack{k_0+\cdots+k_{n-2}=m \\ k_i \geq 0}} (m; k_0,\dots,k_{n-2}) \prod_{i=0}^{n-2} \left(\frac{a_i}{a_n}\right)^{k_i} t^{\gamma m + \delta} E_{\gamma, \epsilon}^{(m)}(\cdot) $ と表現され、ここで $ \gamma = \beta_n - \beta_{n-1} $ であり、$ E_{\gamma, \epsilon}^{(m)} $ はミタグ・レフラー関数のm階微分を表す。
• この手法は、標準的および逐次的分数階微分の両方を効果的に扱い、両者の定式化において一貫性のあるグリーン関数を導出する。
• 本手法により、物理学、工学、ファイナンスなどに現れる分野における、広範な初期値問題の解析的解法が可能になる。