[論文レビュー] Explicit solution for a two--phase fractional Stefan problem with a heat flux condition at the fixed face

Sabrina Roscani, Domingo A. Tarzia|arXiv (Cornell University)|May 23, 2018

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 43被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、半無限領域における2相分数マラム・シュタイン問題に対して、時間分数導関数（0 < α < 1）を用いたCaputo微分と、固定境界における熱束条件をもつ明示的解析解を提示する。Wright関数およびMainardi関数を用いて、類似解を導出し、ある予想のもとで熱束条件問題と温度境界条件問題との間の同値性を確立した。α → 1 の極限において、古典的Neumann解が回復される。

ABSTRACT

A generalized Neumann solution for the two-phase fractional Lam\'e--Clapeyron--Stefan problem for a semi--infinite material with constant initial temperature and a particular heat flux condition at the fixed face is obtained, when a restriction on data is satisfied. The fractional derivative in the Caputo sense of order $\al \in (0,1)$ respect on the temporal variable is considered in two governing heat equations and in one of the conditions for the free boundary. Furthermore, we find a relationship between this fractional free boundary problem and another one with a constant temperature condition at the fixed face and based on that fact, we obtain an inequality for the coefficient which characterizes the fractional phase-change interface obtained in Roscani--Tarzia, Adv. Math. Sci. Appl., 24 (2014), 237-249. We also recover the restriction on data and the classical Neumann solution, through the error function, for the classical two-phase Lam\'e-Clapeyron-Stefan problem for the case $\al=1$.

研究の動機と目的

• 固定面における熱束境界条件をもつ2相分数Lamé–Clapeyron–Stefan問題に対する明示的一般化Neumann解の導出。
• 固定面における熱束条件をもつ分数自由境界問題と、一定温度条件をもつ問題との関係の確立。
• α = 1 の極限として古典的2相シュタイン問題（α = 1）を回復し、誤差関数を用いて既知のNeumann解を再取得する。
• 同値性結果に基づき、温度境界条件問題における相変化界面を特徴付ける係数に関する不等式の導出。
• 初期温度を融解温度に等しく設定することにより、1相分数シュタイン問題が本研究で提示された2相モデルの特別な場合として得られることの示唆。

提案手法

• 固体および液体相の熱方程式において、時間変数に対する階数 α ∈ (0, 1) のCaputo分数階微分を用いて2相分数シュタイン問題を定式化する。
• 類似変数を適用して、自由境界条件をもつ常微分方程式系に問題を還元する。
• Wright関数およびMainardi関数を用いて、特殊関数の形で明示的解を表現する。
• 類似解フレームワーク内での熱束条件問題と温度境界条件問題との同値性を確立するための予想を導入する。
• 自由境界位置を係数 µα によって特定するための重要な方程式 (56) を導出する。
• 分数解の極限を α → 1 として取り、古典的問題の誤差関数解への収束を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定面における熱束条件をもつ2相分数シュタイン問題に対して、一般化Neumann解が存在する条件は何か？
• RQ2 固定面における熱束条件をもつ分数自由境界問題は、同様に固定面における一定温度条件をもつ問題とどのように関係しているか？
• RQ3 α → 1 の極限における分数解の振る舞いは何か？ そして、古典的Neumann解に回復されるか？
• RQ4 同値性結果に基づき、温度境界条件問題における相変化界面を特徴付ける係数に関する不等式を導出できるか？
• RQ5 本研究で提示された2相モデルにおいて、1相分数シュタイン問題はどのように関連しているか？

主な発見

• x = 0 における熱束条件をもつ2相分数シュタイン問題に対して、Wright関数およびMainardi関数を用いて明示的解が導出された。
• 自由境界 s(t) が t^{α/2} に比例することを満たし、係数 µα はMainardi関数を含む非線形方程式によって決定される。
• α = 1 のとき、解は誤差関数を含む古典的Neumann解に簡略化され、条件 (9) の制限が回復される。
• 著者らは、真であれば、類似解フレームワーク内での熱束条件問題と温度境界条件問題との同値性を示す予想を確立した。
• 温度境界条件問題における界面を特徴付ける係数 ξα に関する不等式 (62) が導出され、熱束係数 q0 と関連づけられた。
• 初期温度 Ti を融解温度 Tm に等しく設定することにより、[25] における1相分数シュタイン問題が特別な場合として回復された。