[論文レビュー] Exponential lower bounds on fixed-size psd rank and semidefinite extension complexity

Hamza Fawzi, Pablo A. Parrilo|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、固定されたブロックサイズ $d$ を持つブロック対角正定値コーン $({\bf S}^d_+)^r$ 上の特定のクラスの半定値計画問題における、psd ランクおよび半定値拡張複雑度の指数的下界を確立する。マトリクスのスパarsityパターンに関する新規な結果と、Kaibel と Weltge のアイデアにインspiredされた帰納的議論を用いて、著者たちはこの設定下でカットポリトープが指数的サイズの定式化を必要とすることを証明し、Fiorini らのLP下界を一般化し、$d=2$ の場合に小さな2次錐定式化が不可能であることを示した。主な貢献は、固定サイズのSDPリフトにおける強い指数的下界を確立したことであり、組合せ最適化における構造化されたSDP定式化の本質的限界を浮き彫りにした。

ABSTRACT

There has been a lot of interest recently in proving lower bounds on the size of linear programs needed to represent a given polytope P. In a breakthrough paper Fiorini et al. [Proceedings of 44th ACM Symposium on Theory of Computing 2012, pages 95-106] showed that any linear programming formulation of maximum-cut must have exponential size. A natural question to ask is whether one can prove such strong lower bounds for semidefinite programming formulations. In this paper we take a step towards this goal and we prove strong lower bounds for a certain class of SDP formulations, namely SDPs over the Cartesian product of fixed-size positive semidefinite cones. In practice this corresponds to semidefinite programs with a block-diagonal structure and where blocks have constant size d. We show that any such extended formulation of the cut polytope must have exponential size (when d is fixed). The result of Fiorini et al. for LP formulations is obtained as a special case when d=1. For blocks of size d=2 the result rules out any small formulations using second-order cone programming. Our study of SDP lifts over Cartesian product of fixed-size positive semidefinite cones is motivated mainly from practical considerations where it is well known that such SDPs can be solved more efficiently than general SDPs. The proof of our lower bound relies on new results about the sparsity pattern of certain matrices with small psd rank, combined with an induction argument inspired from the recent paper by Kaibel and Weltge [arXiv:1307.3543] on the LP extension complexity of the correlation polytope.

研究の動機と目的

• 線形計画法の拡張複雑度における指数的下界を、構造化されたブロック対角制約を持つ半定値計画法定式化へ拡張すること。
• 特に固定 $d$ における $({\bf S}^d_+)^r$ 上の半定値計画法の表現力を分析すること。
• カットポリトープに対して、小さな半定値定式化が存在するかどうか、特に効率的な計算が可能なものを特定すること。
• 固定ブロックサイズを持つ構造化されたSDPでさえ、カットポリトープの多項式サイズ定式化を提供できないことを確立すること。
• Fiorini らのLP下界フレームワークを、psdランクとスパarsityパターン解析を用いてSDP設定へ一般化すること。

提案手法

• 著者たちは、通信複雑性において重要な役割を果たす、一意な非交差マトリクス $\operatorname{UDISJ}(n)$ のpsdランクを分析する。
• ブロック構造に基づく再帰的分解を用いて、$({\bf S}^d_+)^r$ 上でpsdランクが高々 $d$ である任意の $n \times n$ 非負マトリクス $M$ の値に対する上界を導出する。
• 主要な技術的要素として、小さなpsdランクを持つマトリクスのスパarsityパターンに関する補題を提示し、特定のゼロパターンが因子化のサポートを制約することを示す。
• Kaibel と Weltge のLP拡張複雑度に関する研究にインspiredされた帰納的議論を用いて、ブロック構造内の非ゼロ要素をカバーする矩形の数を評価する。
• もし $M_{a,\bar{a}} = 0$ であるような $a$ が存在するならば、対応する因子化成分が特定の核および像の包含関係を満たさなければならないという事実を活用する。
• 主な下界は、値の上界と既知の $\operatorname{UDISJ}(n)$ の指数的値を組み合わせることで得られ、psdランクに対する指数的下界が導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 構造化されたブロック対角制約を持つ半定値計画法定式化へ、線形計画法の拡張複雑度における指数的下界を拡張できるか？
• RQ2 固定定数 $d$ におけるカットポリトープの $({\bf S}^d_+)^r$ 上の半定値定式化の最小サイズは何か？
• RQ3 SDPのブロック対角構造—計算効率を可能にするが—、難しい組合せ的ポリトープの多項式サイズ定式化を可能にするか？
• RQ4 固定 $d$ におけるブロック対角因子化下で、一意な非交差マトリクス $\operatorname{UDISJ}(n)$ のpsdランクは $n$ と共にどのように増加するか？
• RQ5 LP拡張複雑度に用いられた手法を、SDP設定で強い下界を証明するために適応可能か？

主な発見

• 任意の固定 $d \geq 1$ に対して、一意な非交差マトリクス $\operatorname{UDISJ}(n)$ のpsdランクは、$\operatorname{rank}_{{\bf S}^d_+}(\operatorname{UDISJ}(n)) \geq \frac{1}{(3^d - 1)^{1 - 1/d}} \left( \left(1 - 3^{-d}\right)^{-1/d} \right)^n$ を満たし、これは $n$ と共に指数的に増加する。
• 完全グラフ $K_n$ のカットポリトープは、固定 $d$ における $({\bf S}^d_+)^r$ 上の半定値計画法に制限された場合、$n$ に関して指数的サイズの拡張定式化を必要とし、$d=1$ の場合のFiorini らのLP下界を一般化する。
• $d=2$ の場合、下界は $\operatorname{rank}_{{\bf S}^2_+}(\operatorname{UDISJ}(n)) \geq \frac{1}{\sqrt{8}} \left( \sqrt{\frac{9}{8}} \right)^n$ を与え、2次錐計画法が小さな定式化を提供できないことを示す。
• $({\bf S}^d_+)^r$ 上でpsdランクが高々 $d$ である任意の $n \times n$ 非負マトリクス $M$ の値は、$(3^d - 1)^{\lfloor(n-1)/d\rfloor + 1}$ で上界され、固定 $d$ に対して $n$ に関して指数的でない。
• 証明は、$M_{a,\bar{a}} = 0$ であるような $a$ に対して、対応する因子化マトリクスが特定の核および像の包含関係を満たさなければならないという、新規なスパarsityパターン補題に依存しており、カバー可能な非ゼロ要素の数を制限する。
• この結果は、固定ブロックサイズを持つ構造化されたSDPですら、カットポリトープを効率的に表現できないことを示し、難しい組合せ的問題の効率的SDP定式化における根本的障壁を浮き彫りにする。