[論文レビュー] Support-based lower bounds for the positive semidefinite rank of a nonnegative matrix

Troy Lee, Dirk Oliver Theis|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2012

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 13被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、非負行列の正定値行列ランクに対するサポートに基づく下界が本質的に制限されることを確立している：最も良いようなその下界は、同じゼロ／非ゼロパターンを持つすべての行列のうち最小のランクに等しい。著者らは、サポートに基づくいかなる手法でも、正定値行列ランクの下界を行列ランクを超えることはできないことを証明しており、非負行列ランクにおけるそれらの下界が指数的に弱くなるのとは対照的である。

ABSTRACT

The positive semidefinite rank of a nonnegative $(m imes n)$-matrix~$S$ is the minimum number~$q$ such that there exist positive semidefinite $(q imes q)$-matrices $A_1,\dots,A_m$, $B_1,\dots,B_n$ such that $S(k,\ell) = \mbox{tr}(A_k^* B_\ell)$. The most important, lower bound technique for nonnegative rank is solely based on the support of the matrix S, i.e., its zero/non-zero pattern. In this paper, we characterize the power of lower bounds on positive semidefinite rank based on solely on the support.

研究の動機と目的

• サポートに基づく正定値行列ランクの下界の理論的限界を特定すること。
• 非負行列のゼロ／非ゼロパターンが、その正定値行列ランクに対する非自明な下界をもたらすかどうかを調査すること。
• 正定値行列ランクと、同じサポートを持つ行列のうち最小のランクとの関係を明確にすること。
• 正定値行列ランクにおけるサポートに基づく下界の性質と、非負行列ランクにおけるそれらの有名な強力さとの対比を明らかにすること。

提案手法

• 著者らは、正定値行列ランクを、正定値行列 A_k と B_ℓ が存在して S(k,ℓ) = tr(A_k^* B_ℓ) を満たすような最小次元 q として定義する。
• 与えられた行列 S と同一のサポート M を持つすべての非負行列 T の集合を分析し、そのような T における rk_⊕(T) の下界を考察する。
• 鍵となる技術的道具は、部分空間ラティスと関連する部分空間のランク条件を用いた正定値行列因子化の特徴付けである。
• 特に、要素がゼロまたは非ゼロである場合に、次元が低い表現が不可能であることを示すために、因子化におけるランク制約に基づく背理法を用いる。
• もし行列がランク1の因子化を持つならば、その要素は同じランクの行列の要素の二乗に等しいという事実を活用する。
• 彼らは、特定の族 S_n を用い、ランクが常に3だが正定値行列ランクが n に伴い無限大に発散する例を構成し、その中で関係する行列 Y の符号パターンを列挙する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サポートに基づく正定値行列ランクの下界が、同じサポートを持つ行列の最小ランクを超えることは可能か？
• RQ2 正定値行列ランクにおけるサポートに基づく下界のパワーは、非負行列ランクにおけるそれらのパワーと比べてどう異なるか？
• RQ3 サポートに基づく下界が正定値行列の場合に本質的に制限される構造的要因は何か？
• RQ4 因子化における追加の構造的制約（例えばランク1成分）が、サポートのみに依存するものよりも強い下界をもたらすことは可能か？
• RQ5 正定値行列ランクと、同じサポートを持つ行列の最小ランク（非決定的ランク）との関係は何か？

主な発見

• 任意の非負行列 S に対するサポートに基づく正定値行列ランクの最良下界は、S と同じサポートを持つすべての非負行列のうちの最小ランクに正確に等しい。
• この結果は、サポートに基づく手法が正定値行列ランクの下界を行列ランクを超えて得ることはできないことを示している。
• 任意の 0/1 行列 M に対して、サポート M を持つすべての非負行列のうちの最小正定値行列ランクは、同じ集合における最小ランクに等しい。
• 行列 S の三角形ランクは、命題4.8で示されるように、その正定値行列ランクの下界である。
• 本論文は、ランクが常に3だが正定値行列ランクが n に伴い無限大に発散する行列族 S_n を構成し、正定値行列ランクが行列ランクを上回り得ることを示している。
• n ≥ 6 のとき、S_6 の正定値行列ランクは少なくとも4である。これは、そのような Y が存在しない（ランク3の行列で、要素ごとの二乗が S_6 と一致するもの）という背理法により証明されている。