[論文レビュー] Exponential unitary divisors

László Tóth, Nicuşor Minculete|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2009

Analytic Number Theory Research参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、数の素因数分解における指数のunitary除数を用いて構成される指数unitary除数を導入し、それらを研究する。指数unitary完全数を定義し、奇数のそれらが存在しないことを証明する。関連する算術関数の漸近的公式を確立し、それらの振る舞いが指数除数関数と密接に類似していることを示し、算術関数の畳み込みに関する文献における空白を埋める。

ABSTRACT

We say that $d$ is an exponential unitary divisor of $n=p_1^{a_1}... p_r^{a_r}>1$ if $d=p_1^{b_1}... p_r^{b_r}$, where $b_i$ is a unitary divisor of $a_i$, i.e., $b_i\mid a_i$ and $(b_i,a_i/b_i)=1$ for every $i\in \{1,2,...,r\}$. We survey properties of related arithmetical functions and introduce the notion of exponential unitary perfect numbers.

研究の動機と目的

• 指数除数とunitary除数の概念を組み合わせて、指数unitary除数を定義し、それらを調査すること。
• unitary完全数および指数完全数に類似した新しい数のクラスとして、指数unitary完全数を導入し、それらを分析すること。
• 算術関数の文脈においてこれまで未解決であった指数unitary畳み込みの研究により、文献における空白を埋めること。
• 指数unitary除数に関連する数え上げ関数、和関数、オイラー型関数のための漸近的公式を導出すること。
• 非平方自由および3-自由な指数unitary完全数の存在に関する未解決問題を解消すること。

提案手法

• n = p₁^a₁⋯pᵣ^aᵣ に対し、各 bᵢ が aᵢ の unitary 除数（つまり bᵢ | aᵢ かつ gcd(bᵢ, aᵢ/bᵢ) = 1）であるような d = p₁^b₁⋯pᵣ^bᵣ を、n の指数unitary除数と定義する。
• τ^(e*)（指数unitary除数の個数）、σ^(e*)（指数unitary除数の和）、μ^(e*)（指数unitary Möbius関数）、φ^(e*)（指数unitaryオイラー関数）を導入する。
• τ^(e*) および σ^(e*) が乗法的関数であることを証明し、明示的な公式を導出する：τ^(e*)(n) = ∏ᵢ 2^{ω(aᵢ)} および σ^(e*)(n) = ∏ᵢ ∑_{d|*aᵢ} pᵢ^d。
• 乗法的関数に関する一般結果を用いて、φ^(e*) の上極限の漸近的挙動（log F(n) log log n / log n → sup (log f(m))/m）を確立する。
• 1未満の乗法的関数に適用可能な一般漸近公式を用いて、∑_{n≤x} τ^(e*)(n)/τ^(e)(n) = x ∏_p (1 + ∑_{a≥4} (2^{ω(a)}/τ(a) - 2^{ω(a-1)}/τ(a-1))/p^a) + O(x^{1/4} log x) を導出する。
• ディリクレ畳み込みおよび4-完全整数の性質を用いて部分和を推定し、漸近展開における誤差項を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平方自由でない指数unitary完全数は存在するか。それらは指数完全数ではない。
• RQ2 3で割り切れない指数unitary完全数は存在するか。
• RQ3 指数unitary完全数の個数は有限か、無限か。

主な発見

• 奇数の指数unitary完全数は存在しない。これは、指数のunitary除数の個数が偶数であることと、和関数比の上限に関する評価を用いた背理法により示された。
• τ^(e*), σ^(e*), μ^(e*), φ^(e*) の漸近的挙動は、それらの指数除数対応関数 τ^(e), σ^(e), μ^(e), φ^(e) と密接に類似している。
• 漸近的公式が確立された：∑_{n≤x} τ^(e*)(n)/τ^(e)(n) = x ∏_p (1 + ∑_{a≥4} (2^{ω(a)}/τ(a) - 2^{ω(a-1)}/τ(a-1))/p^a) + O(x^{1/4} log x)。
• 商 |μ^(e)(n)| / |μ^(e*)(n)| = |μ^(e)(n)| は、e-平方自由整数の特性関数であり、その漸近的密度が既に研究されている。
• 指数完全数だが指数unitary完全数でない最小の数は 17,424 = 2⁴·3²·11² である。
• 指数unitary完全数は無限に存在する。特に、6と互いに素な平方自由な n に対して、すべての 36n がその例である。