[論文レビュー] Exponentially more concise quantum recognition of non-RMM regular languages

Daowen Qiu, Lvzhou Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2009

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 41被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、古典的状態と量子状態を統合した新規の片方向量子有限オートマトン（1QFAC）モデルを紹介する。このモデルは、有界誤差ですべての正則言語を認識可能であり、決定的有限オートマトン（DFA）と比較して指数的状態圧縮を達成する。主な貢献は、特定の非-RMM正則言語に対して、1QFACがDFAに比べて指数的に簡潔であることを証明するとともに、同値性と最小化問題の決定可能性を保証していることである。

ABSTRACT

We show that there are quantum devices that accept all regular languages and that are exponentially more concise than deterministic finite automata (DFA). For this purpose, we introduce a new computing model of {\it one-way quantum finite automata} (1QFA), namely, {\it one-way quantum finite automata together with classical states} (1QFAC), which extends naturally both measure-only 1QFA and DFA and whose state complexity is upper-bounded by both. The original contributions of the paper are the following. First, we show that the set of languages accepted by 1QFAC with bounded error consists precisely of all regular languages. Second, we prove that 1QFAC are at most exponentially more concise than DFA. Third, we show that the previous bound is tight for families of regular languages that are not recognized by measure-once (RMO), measure-many (RMM) and multi-letter 1QFA. % More concretely we exhibit regular languages $L^0(m)$ for $m$ prime such that: (i) $L^0(m)$ cannot be recognized by measure-once, measure-many and multi-letter 1QFA; (ii) the minimal DFA that accepts $L^0(m)$ has $O(m)$ states; (iii) there is a 1QFAC with constant classical states and $O(\log(m))$ quantum basis that accepts $L^0(m)$. Fourth, we give a polynomial-time algorithm for determining whether any two 1QFAC are equivalent. Finally, we show that state minimization of 1QFAC is decidable within EXPSPACE. We conclude the paper by posing some open problems.

研究の動機と目的

• 古典的有限オートマトンの構造を踏襲しつつ、量子力学を活用して状態効率を向上させる実用的な量子オートマトンモデルの開発を目的とする。
• 既存の1QFAモデル（例：MO-1QFA、MM-1QFA、多文字1QFA）が特定の正則言語を認識できない、またはDFAよりも多くの状態を必要とするという制限を克服することを目的とする。
• MO-1QFA、MM-1QFA、多文字1QFAで認識できない正則言語に対しても、1QFACが指数的状態圧縮を達成できることを示すこと。
• 1QFACにおける同値性と最小化問題の決定可能性を確立し、量子オートマトンの実用的検証と最適化の基盤を提供すること。

提案手法

• 古典的状態と量子基底状態を併用するハイブリッドモデルとして1QFACを提案。遷移は古典的状態に条件づけられたユニタリ操作によって制御される。
• 入力処理終了時に測定を行い、受容確率は量子状態と受容部分空間との重なりによって定まる。
• 良い順序付けの議論と、有限の閾値までの状態同値性を用いて、同値性問題を有限個の文字列の検査に還元する。
• $(k_1n_1)^2 + (k_2n_2)^2 - 1$ という境界に基づく、1QFAC同値性の多項式時間アルゴリズムを導入（$k_i$ と $n_i$ はそれぞれ古典的および量子状態数）。
• 有限文字列集合上での同値性チェックに還元することで、1QFACの最小化問題がEXPSPACE内で決定可能であることを証明する。
• 既知の量子状態の区別可能性とオートマトン同値性の結果を活用し、同値性を検証するために必要な文字列数の上限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 DFAに比べて指数的に簡潔である一方で、すべての正則言語を認識可能な量子オートマトンモデルを設計可能か？
• RQ2 1QFACにおける同値性問題は決定可能であり、多項式時間で解けるか？
• RQ3 1QFACの最小化問題は、EXPSPACEなどの既知の複雑性クラス内で決定可能か？
• RQ4 非-RMM正則言語に対して、1QFACの状態複雑度は、MO-1QFA、MM-1QFA、またはアーシャ1QFAと比較してどのように異なるか？
• RQ5 与えられた正則言語に対して、1QFACの量子状態複雑度のタイトな下界は、最小DFAに比べてどの程度か？

主な発見

• 1QFACは有界誤差ですべての正則言語を認識可能であり、1QFACが受理する言語の集合が正則言語クラスに丁度一致することを証明した。
• 1QFACはDFAに比べて最大で指数的に簡潔であり、この上限はMO-1QFA、MM-1QFA、多文字1QFAで受理できない正則言語に対してタイトである。
• 任意の素数 $m \geq 2$ に対して、最小DFAでは $O(m)$ 状態を必要とする正則言語 $L_m$ が存在し、1QFACでは $O(\log m)$ 個の量子基底状態と定数個の古典的状態で表現可能である。
• 2つの1QFACの同値性を判定する多項式時間アルゴリズムが存在し、時間計算量は $O((k_1n_1)^2 + (k_2n_2)^2)^4$ である。
• 1QFACの最小化問題はEXPSPACE内で決定可能であり、MooreとCrutchfieldが提起したMO-1QFA最小化に関する未解決問題を解決した。
• 系として、MO-1QFAの最小化問題についても決定可能であることが示され、[33]の問題5の解決に繋がった。