[論文レビュー] Exponentially $S$-numbers

Vladimir Shevelev|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2015

Analytic Number Theory Research参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、指数的 $S$-数—すべての素因数の指数が与えられた数列 $S \in \mathbf{S}$ に属する正の整数—の数え上げ関数の一般な漸近的公式を確立する。$s(1) = 1$ のとき、それらは自然密度 $h(E(S))$ を持つことを証明する。主な結果は、明示的な密度公式と、すべてのこのような数列に一様に成り立つ誤差項 $O\left(\sqrt{x}\log x \cdot e^{c\frac{\sqrt{\log x}}{\log\log x}}\right)$ を提供する。ここで $c \approx 7.443$ である。この研究は、平方自由数や強力数に関する先行研究を一般化し、より広いクラスの指数的 $S$-数系へと拡張する。

ABSTRACT

Let $\mathbf{S}$ be the set of all finite or infinite increasing sequences of positive integers. For a sequence $S=\{s(n)\}, n\geq1,$ from $\mathbf{S},$ let us call a positive number $N$ an exponentially $S$-number $(N\in E(S)),$ if all exponents in its prime power factorization are in $S.$ Let us accept that $1\in E(S).$ We prove that, for every sequence $S\in \mathbf{S}$ with $s(1)=1,$ the exponentially $S$-numbers have a density $h=h(E(S))$ such that $$\sum_{i\leq x,\enskip i\in E(S)} 1 = h(E(S))x+R(x), where R(x) does not depend on $S$ and $h(E(S))=\prod_{p}(1+\sum_{i\geq2}\frac{u(i)-u(i-1)}{p^i}),$ where $u(n)$ is the characteristic function of $S.$

研究の動機と目的

• 指数的 $S$-数—すべての素因数の指数が与えられた数列 $S \in \mathbf{S}$ に属する正の整数—の自然密度 $h(E(S))$ の存在を確立し、明示的な計算を行うこと。
• すべての $S$ に対して一様に成り立つ誤差項を、$s(1) = 1$ の条件下で、数え上げ関数の漸近的展開に導くこと。
• 平方自由数 ($S = \{1\}$) および指数的平方自由数 ($S = B$) に関する先行結果を、$1$ で始まる任意の数列 $S$ に一般化すること。
• 密度関数 $h(E(S))$ の構造と、$S$ の特性関数 $u(n)$ との依存関係を調査し、オイラー積の公式に到達すること。
• 各素数に固有の指数数列 $S_n$ を割り当てるより一般な設定に枠組みを拡張し、新たなクラスの指数的 $\mathbf{A}$-数を定義すること。

提案手法

• 指数的 $S$-数を、固定された数列 $S \in \mathbf{S}$ のすべての素因数の指数が含まれる正の整数として定義する。$1 \in E(S)$ は慣例的である。
• $E(S)$ を、$E(S) \cap E(\Upsilon)$ に属する強力数 $a$ でインデックス付けされた互いに素な類 $E(S)^{(a)}$ に分解する。ここで $\Upsilon = \{2,3,4,\dots\}$ である。
• 平方自由数で $r$ と互いに素なものの数え上げ関数 $b_r(x)$ に対して、補題 1 を適用する。$r$ が大きいとき、剰余項は $O\left(\sqrt{x} \cdot e^{c\frac{\sqrt{\log r}}{\log\log r}}\right)$ で有界である。
• 全数 $\sum_{i \leq x, i \in E(S)} 1$ を、$E(S) \cap E(\Upsilon)$ に属する $a$ の和として $b_{r(a)}(x/a)$ の和に表現し、平方自由数の密度に依存する漸近的展開を得る。
• 乗法的数論とオイラー積の性質を用いて、密度公式 $h(E(S)) = \prod_p \left(1 + \sum_{i \geq 2} \frac{u(i) - u(i-1)}{p^i}\right)$ を導出する。
• 数列 $\mathbf{A} = \{S_n\}$ の場合に一般化し、各素数 $p_n$ に固有の指数数列 $S_n$ を割り当て、$\prod_n \left(1 + \sum_{i \geq 2} \frac{u_n(i) - u_n(i-1)}{p_n^i}\right)$ を含む新たな密度公式を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の正の整数の増加数列 $S$ で $s(1) = 1$ を満たすとき、指数的 $S$-数の集合の自然密度は何か？
• RQ2 すべてのこのような数列 $S$ に対して、指数的 $S$-数の数え上げ関数の誤差項を一様に確立できるか？
• RQ3 密度 $h(E(S))$ は、数列 $S$ の特性関数 $u(n)$ にどのように依存するか？
• RQ4 すべての可能な密度の集合 $\{h(E(S))\}$ は、区間 $[6/\pi^2, 1]$ に稠密か？
• RQ5 各素数に固有の指数数列 $S_n$ を割り当てる指数的 $\mathbf{A}$-数の数え上げ関数の漸近的挙動はいかなるものか？

主な発見

• すべての数列 $S \in \mathbf{S}$ で $s(1) = 1$ を満たすとき、指数的 $S$-数の集合は正の自然密度 $h(E(S))$ を持つ。一方、$s(1) > 1$ のとき $h(E(S)) = 0$ である。
• 密度はオイラー積として明示的に与えられる：$h(E(S)) = \prod_p \left(1 + \sum_{i \geq 2} \frac{u(i) - u(i-1)}{p^i}\right)$。ここで $u(n)$ は $S$ の特性関数である。
• 数え上げ関数は $\sum_{i \leq x, i \in E(S)} 1 = h(E(S))x + O\left(\sqrt{x} \log x \cdot e^{c \frac{\sqrt{\log x}}{\log \log x}}\right)$ を満たし、$c = 4\sqrt{2.4 / \log 2} \approx 7.443$ である。
• 誤差項は $s(1) = 1$ を満たすすべての数列 $S$ に対して一様であり、リーマン予想に依存しない。これは、特定のケースでは既存の結果とは異なり、より強い条件である。
• $\{h(E(S))\}$ の集合は $[6/\pi^2, 1]$ に稠密ではない。$\prod_p (1 - \frac{p-1}{p^3})$ と $\prod_p (1 - \frac{1}{p^3})$ の間に正のギャップが存在し、区間内のすべての密度が達成可能であるとは限らないことが示される。
• 各素数 $p_n$ に固有の数列 $S_n$ を割り当てる指数的 $\mathbf{A}$-数への一般化により、密度公式 $h(E(\mathbf{A})) = \prod_{n \geq 1} \left(1 + \sum_{i \geq 2} \frac{u_n(i) - u_n(i-1)}{p_n^i}\right)$ が得られ、同じ誤差項構造を有する。