[論文レビュー] EXTENDED QUANTUM MECHANICS

B Pavel|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2000

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 79被引用数 21

ひとこと要約

この論文は、密度行列の多様体上でのポisson系として非相対論的量子力学を再定式化することにより、それを拡張している。ここで観測量は自己共役作用素の量子期待値として定義される。非線形な対称性生成子と密度行列の関数としての作用素値関数を導入することにより、この枠組みは混合状態、準古典的近似、非線形拡張を含む標準量子力学を一般化する。これらは、拡張量子力学（EQM）と呼ばれるより広範な理論の下で統一され、EQMがC*-代数的量子理論に埋め込まれることが示されている。

ABSTRACT

The work can be considered as an essay on mathematical and conceptual structure of nonrelativistic quantum mechanics (QM) which is related here to some other (more general, but also to more special and “approximative”) theories. QM is here primarily reformulated in an equivalent form of a Poisson system on the phase space consisting of density matrices, where the “observables”, as well as “symmetry generators” are represented by a specific type of real valued (densely defined) functions, namely the usual quantum expectations of corresponding selfadjoint operators. It is shown in this paper that inclusion of additional (“nonlinear”) symmetry generators (i.e. “Hamiltonians”) into this reformulation of (linear) QM leads to a considerable extension of the theory: two kinds of quantum “mixed states” should be distinguished, and operator ‐ valued functions of density matrices should be used in the r ˆ ole of “nonlinear observables”. A general framework for physical theories is obtained in this way: By different choices of the sets of “nonlinear observables” we obtain, as special cases, e.g. classical mechanics on homogeneous spaces of kinematical symmetry groups, standard (linear) QM, or nonlinear extensions of QM; also various “quasiclassical approximations” to QM are all subtheories of the presented extension of QM - a version of the extended quantum mechanics (EQM). A general interpretation scheme of EQM extending the usual statistical interpretation of QM is also proposed. Eventually, EQM is shown to be (included into) a C -algebraic (hence linear) quantum theory. Mathematical formulation of these theories is presented. The presentation includes an analysis of problems connected with differentiation on infinite ‐ dimensional manifolds, as well as a solution of some problems connected with the work with only densely defined unbounded real‐valued functions on the (infinite dimensional) “phase space” which correspond to unbounded operators (generators) and to their nonlinear generalizations. Also “nonlinear deformations” of unitary representations of kinematical symmetry Lie groups are introduced. Possible applications are briefly discussed, and some specific examples are presented. The text contains also brief reviews of Hamiltonian classical mechanics, as well as of QM. Mathematical appendices make the paper nearly selfcontained.

研究の動機と目的

• 線形および非線形拡張を含む非相対論的量子力学を統一的な数学的・概念的枠組みで構築すること。
• 実数値関数（量子期待値を表す）を用いて、無限次元多様体上の密度行列の上に再定式化することにより、量子力学の基礎的問題に取り組むこと。
• 非線形ハミルトニアンと作用素値観測量を導入することで、標準量子形式主義を拡張し、2種類の混合状態を区別すること。
• EQMの一般解釈スキームを提供し、標準量子力学の統計的解釈を一般化すること。
• EQMをC*-代数的量子理論の広範な文脈に埋め込み、既存の量子力学の基礎と整合性を保つこと。

提案手法

• 標準量子力学を、観測量が自己共役作用素の量子期待値によって与えられる密度行列の位相空間上のポアソン系として再定式化すること。
• 線形力学を拡張する非線形な対称性生成子（非線形ハミルトニアン）を導入し、標準QMの線形ダイナミクスを拡張する新しい種類の運動方程式を導くこと。
• 作用素値関数を用いて、線形汎関数を超えるより一般的な物理量を記述する非線形観測量を表現すること。
• 無限次元多様体上の微分に関する数学的課題を扱い、有界でない作用素に対応する、定義密度が稠密な実数値関数を位相空間上で取り扱うこと。
• 運動的対称性リーダイアリー群のユニタリ表現の非線形変形を導入し、拡張理論における対称性の役割を一般化すること。
• 古典力学、標準QM、準古典的近似、非線形QMが、非線形観測量の異なる選択によって特別な場合として現れる一般物理理論の枠組みを構築すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子期待値を観測量として用いることで、標準量子力学を密度行列の多様体上でのポアソン系としてどのように再定式化できるか？
• RQ2 量子形式主義に非線形ハミルトニアンを導入した場合の数学的および物理的結果は何か？
• RQ3 拡張された枠組みにおいて、2種類の異なる混合状態がどのように生じるのか、それらの物理的意味は何か？
• RQ4 準古典的近似が、拡張量子力学（EQM）の枠組み内でどのように部分理論として現れるのか？
• RQ5 拡張理論が、量子理論のC*-代数的形式主義に一貫して埋め込まれる方法は何か？

主な発見

• 非線形ハミルトニアンと作用素値観測量を組み込むことで、より広い物理理論のクラスを含む、拡張量子力学（EQM）の枠組みが、標準量子力学を効果的に一般化していることが示された。
• EQMでは、非線形構造に起因する2種類の異なる混合状態が特定され、これらは標準的な線形量子力学には存在しない。
• 理論は、非線形観測量の異なる選択によって、同調空間上の古典力学、標準QM、さまざまな準古典的近似が特別な場合として現れる統一的枠組みを提供している。
• 無限次元多様体上の微分に関する課題と、位相空間上の定義密度が稠密な有界でない実数値関数の取り扱いに関する数学的定式化が解決された。
• 運動的対称性群のユニタリ表現の非線形変形が導入され、拡張理論における対称性の役割が一般化された。
• 拡張量子力学がC*-代数的量子理論の形式主義に埋め込まれることが示され、量子力学の基礎的原則と整合性を保っている。