[論文レビュー] Extended scheme for the projection of material tensors of arbitrary symmetry onto a higher symmetry tensor

A. Miguel|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2014

Elasticity and Material Modeling被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、MoakherとNorrisのテンソル射影法を拡張し、回転最適化を組み込んで、下位対称性（例えば特殊準ランダム構造（SQS）スーパセルからの三斜晶対称性をもつ弾性テンソルなど）の材料テンソルに対して、最も近い対称テンソル（例えば立方晶）を特定する手法を提案する。元のテンソルを回転させた上で射影することで、標準的な射影法と比較して誤差を最大20％まで低減でき、合金のマクロな弾性定数をより正確に得られるようになる。

ABSTRACT

I propose a straightforward generalization of the projection scheme for elastic tensors introduced by Moakher and Norris [J. Elasticity 85, 215 (2006)] that takes into account also rotations. The "closest" tensor of any desired symmetry to the original tensor of lower symmetry is "closer" in this generalized scheme. The method has an important application in the context of the special quasirandom structure (SQS) method for the computational modeling of alloys, whereby the supercell's symmetry, and therefore that of the tensors representing its properties, is reduced with respect to the material's underlying symmetry. The approach allows to extract the tensor components most representative of the macroscopic symmetry of the material. Although the approach is general, in the present case I apply it to the elastic tensor and give numerical examples. Simple approximate analytical expressions for cubic materials are also provided.

研究の動機と目的

• 下位対称性のテンソルを上位対称性の形式に射影する際、既存のテンソル射影手法が回転自由度を無視するという限界を是正すること。
• 特殊準ランダム構造（SQS）法によって生成された対称性が低下したスーパセルにおけるab initio計算から得られるマクロな弾性特性の抽出精度を向上させること。
• 不規則性や有限サイズ効果によってわずかに対称性が破れた場合に適用可能な、任意の材料テンソル（例えば弾性、圧電）に一般化可能なフレームワークを提供すること。
• 回転を考慮した射影によって、不規則なスーパセルテンソルとその対称的対応物との距離を最小化し、より信頼性の高い材料の固有性質を抽出することを可能にすること。

提案手法

• 標準的な射影演算子を適用する前に回転ステップを導入することで、MoakherとNorrisの射影方式を一般化する。
• すべての可能な回転角について、元のテンソルの回転版と目的の対称テンソル（例えば立方晶）とのユークリッド距離を最小化する問題に定式化する。
• 三つのオイラー角（tx, ty, tz）でパrameter化された回転行列を用いて、三斜晶弾性テンソルに回転を適用し、数値的に最適化する。
• テンソルノルムを保持するため、Voigt表記法に適切な正規化係数（例：C12には√2、C44には2）を適用する。
• 立方晶弾性テンソルの空間を張る3つの基底ベクトルをVoigt表記法で構築する。
• MathematicaのNMinimizeを用いた数値最適化により、回転テンソルとその射影された立方晶形式との距離を最小にする回転角を求める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影プロセスにおいて回転自由度を考慮することで、テンソル射影の精度を向上させることができるか？
• RQ2 三斜晶弾性テンソルをどの程度回転させると、最も近い立方晶テンソルとの距離が最小化されるか？
• RQ3 不規則なスーパセルの弾性テンソルの射影において、回転を組み込むことで、標準的な射影法と比較してユークリッド距離をどれほど低減できるか？
• RQ4 回転最適化により、SQSに基づくab initio計算から得られるマクロな弾性定数の抽出精度はどの程度向上するか？
• RQ5 新しい回転最適化フレームワーク下で、立方晶材料に対する解析的近似式を導出できるか？

主な発見

• 回転最適化射影により、三斜晶弾性テンソルとその立方晶射影とのユークリッド距離が、標準的手法の91.0 GPaから69.997 GPaにまで低下し、約23％の低減が達成された。
• 最適な回転角は約 tx = -0.0329 rad、ty = -0.0319 rad、tz = 0.1111 rad であり、わずかだが顕著な回転がアライメントを改善することが示された。
• 回転および射影後、得られる立方晶弾性定数は C11 = C22 = C33 = 436.8 GPa、C12 = C13 = C23 = 228.3 GPa、C44 = C55 = C66 = 377.5 GPa となった。
• Voigt表記法における適切な正規化により、テンソルノルムが保持され、一貫した距離尺度が保証された。
• 本手法は一般化可能であり、弾性に限らず任意の対称性の材料テンソルに適用可能である。
• 本稿では、新しいフレームワーク下で立方晶材料に対する簡単な解析的式が提供され、不規則系からの対称テンソル成分の効率的推定が可能になった。