[論文レビュー] SOS Tensor Decomposition: Theory and Applications

Haibin Chen, Guoyin Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2015

Tensor decomposition and applications参考文献 42被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$B_0$-テンソル、$H$-テンソル、拡張$Z$-テンソルなどの偶数次対称構造的テンソルのクラスが、和の平方（SOS）テンソル分解を有することを確立している。これにより、半正定値計画法（SDP）を用いた、最小$H$-固有値の効率的計算および関連する多変数形式の正定値性のテストが可能になる。特に、指数が有界なテンソルに対して、SOSランクおよびSOS幅の鋭い上界が提供され、小規模から大規模な問題に対する数値実験によって手法の有効性が検証されている。

ABSTRACT

In this paper, we examine structured tensors which have sum-of-squares (SOS) tensor decomposition, and study the SOS-rank of SOS tensor decomposition. We first show that several classes of even order symmetric structured tensors available in the literature have SOS tensor decomposition. These include positive Cauchy tensors, weakly diagonally dominated tensors, $B_0$-tensors, double $B$-tensors, quasi-double $B_0$-tensors, $MB_0$-tensors, $H$-tensors, absolute tensors of positive semi-definite $Z$-tensors and extended $Z$-tensors. We also examine the SOS-rank of SOS tensor decomposition and the SOS-width for SOS tensor cones. The SOS-rank provides the minimal number of squares in the SOS tensor decomposition, and, for a given SOS tensor cone, its SOS-width is the maximum possible SOS-rank for all the tensors in this cone. We first deduce an upper bound for general tensors that have SOS decomposition and the SOS-width for general SOS tensor cone using the known results in the literature of polynomial theory. Then, we provide an explicit sharper estimate for the SOS-rank of SOS tensor decomposition with bounded exponent and identify the SOS-width for the tensor cone consisting of all tensors with bounded exponent that have SOS decompositions. Finally, as applications, we show how the SOS tensor decomposition can be used to compute the minimum $H$-eigenvalue of an even order symmetric extended $Z$-tensor and test the positive definiteness of an associated multivariate form. Numerical experiments are also provided to show the efficiency of the proposed numerical methods ranging from small size to large size numerical examples.

研究の動機と目的

• 主な構造的テンソルクラスが和の平方（SOS）テンソル分解を有するかどうかを特定すること。
• 特に指数が有界なテンソルに対して、SOSテンソル錐のSOSランクおよびSOS幅を分析すること。
• 構造的テンソルに関連する多変数形式の最小$H$-固有値を効率的に計算し、正定値性をテストするための数値的手法を開発すること。
• 指数が有界なテンソル錐の文脈において、SOSランクおよびSOS幅の明示的かつ鋭い上界を提供すること。

提案手法

• 偶数次かつ対称である場合に、正カウチ、弱い対角優勢、$B_0$、二重$B$、準二重$B_0$、$MB_0$、$H$、および拡張$Z$-テンソルを含む、さまざまな構造的テンソルがSOS分解を有することを証明する。
• SOSランクを、関連する斉次多項式のSOS分解における平方の最小数として定義し、SOS幅を、与えられたテンソル錐上でのSOSランクの最大値として定義する。
• 多項式理論の既知の結果を用いて一般のSOSテンソル分解の上界を導出し、その後指数が有界なテンソルに対してそれを精緻化する。
• SOSランクの計算を、正定値行列制約の下でのランク最適化問題として定式化する。
• YALMIPおよびSDPNALを用いて半正定値計画法（SDP）を適用し、$H$-固有値問題のSOS緩和を解く。
• 正定値性テストの正しさを検証するため、制御された対角優勢性を持つ拡張$Z$-テンソルの数値的テストインスタンスを構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 偶数次対称構造的テンソル、たとえば$B_0$-テンソルや$H$-テンソルは、和の平方（SOS）テンソル分解を有するか？
• RQ2 SOS分解を有する偶数次対称テンソルのうち、指数が有界なもののすべての集合の錐における正確なSOS幅は何か？
• RQ3 指数が有界な構造的テンソルのSOSランクは、明示的かつ鋭く推定可能か？
• RQ4 SOSテンソル分解を用いて、拡張$Z$-テンソルの最小$H$-固有値を効率的に計算できるか？
• RQ5 提案手法は、拡張$Z$-テンソルに関連する多変数形式の正定値性を信頼性高くテストできるか？

主な発見

• $B_0$-テンソル、$H$-テンソル、および拡張$Z$-テンソルを含む、複数の構造的テンソルクラスが、偶数次かつ対称である場合にSOSテンソル分解を有する。
• テンソルのSOSランクは、正定値行列制約の下でのランク最適化問題の最適値に等しい。
• 指数が有界なテンソルに対して、SOSランクの鋭い明示的上界が導出され、対応するテンソル錐の正確なSOS幅が特定された。
• SOS分解により、多項式最適化および半正定値計画法を用いた最小$H$-固有値の効率的計算が可能になる。
• 数値実験では、$n=100$および$m=4,6$の大規模問題を含む100個のランダムインスタンスにおいて、多変数形式の正定値性の同定が100%の正確性で達成された。
• 本手法は小規模から大規模な問題を効果的に処理でき、SDPNALおよびYALMIPを用いたSDP定式化により、スケーラビリティと頑健性が示された。