[論文レビュー] Extending Hamilton's principle to quantize classical fields

K. B. Wharton|ArXiv.org|Jun 30, 2009

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、作用の極値化を促す「自然な」境界条件を介してのみ境界条件が物理的に実現可能であり、それによって古典的相対論的スカラー場における測定結果が量子化されることを提案する。ハミルトニアンの原理を、運動方程式に加えて境界条件の超曲面までも制約する形に拡張することで、著者らはボーア＝ソルマーfeldに類似した量子化条件を導出し、古典的場における角運動量測定が $ n\hbar/2 $ の近傍で離散的値をとることを示した。これは、量子的挙動の古典的起源を示唆する。

ABSTRACT

Hamilton's principle does not formally apply to systems whose boundary conditions lie outside configuration space, but extensions are possible using certain "natural" boundary conditions that allow action extremization. With the single conjecture that only such action-extremizing boundaries can be physically realized, the classical relativistic scalar field becomes subject to certain quantization conditions upon measurement. These conditions appear to be analogous to Bohr-Sommerfeld quantization, and are derived explicitly for the case of angular momentum measurements of a classical scalar field.

研究の動機と目的

• 古典的場理論において、配置空間の外にある境界条件が物理的に実現可能かどうかを特定する未解決問題に対処すること。
• 作用の極値化に基づく制約を導入することで、物理的測定に割り当てられる時空超曲面の曖昧性を解消すること。
• 量子化が、あらかじめ仮定された量子論的規則からではなく、非座標境界条件下での作用の極値化というより深い原理から生じる可能性を探ること。
• このような原理が、旧量子論に類似した離散的・量子化された測定結果を生じることを示し、角運動量をテストケースとして用いること。

提案手法

• 座標に基づく境界条件に制限を設けないようハミルトニアンの原理を拡張し、物理的に実現可能なすべての境界条件に対して作用の極値化を要求する。
• 作用の変分における境界項を消滅させる境界条件である「自然な境界条件」を特定し、これが非座標境界条件下での作用の極値化を可能にする唯一の条件であると同定する。
• 拡張された原理を相対論的スカラー場に適用し、閉じた時空超曲面 $\bm{s}$ に非座標境界条件を課し、場の角運動量を制約する。
• 境界項が消えるように要求することから生じる、$\partial\phi/\partial\eta|_{\bm{s}} = 0$（法線方向微分が消える）という自然な境界条件を用いる。
• このような境界条件下で作用が極値化されるという要請から、ボーア＝ソルマーfeldに類似した量子化条件 $ L_z \approx n\hbar/2 $（$ n \in \mathbb{Z} $）を導出する。
• 測定への含意を分析する：非可換な角運動量成分の同時測定は、両者が自然な境界条件を満たすような単一の超曲面が存在しないために不可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 配置空間にない境界条件が、作用の極値化を許す場合に、物理的に実現可能であると考えられるか？
• RQ2 作用の極値化を要求することによって、物理的測定に割り当てる時空超曲面の選択にどのような制約が生じるか？
• RQ3 ハミルトニアンの原理を非座標境界条件に拡張することで、古典的場における離散的・量子化された測定結果が生じるか？
• RQ4 得られた量子化条件はボーア＝ソルマーfeld則とどのように比較できるか？また、なぜ $ \hbar/2 $ が得られるのか？
• RQ5 この枠組み下で、非可換な角運動量成分の同時測定がなぜ禁止されるのか？

主な発見

• 作用の極値化を許す境界条件、特に場の法線方向微分が消える「自然な境界条件」である場合にのみ、物理的に実現可能である。
• 全エネルギーが $ mc^2 $ に近い古典的相対論的スカラー場では、角運動量測定値が整数 $ n $ に対して $ n\hbar/2 $ の近傍に制限される。
• 量子化条件 $ L_z \approx n\hbar/2 $ は、作用の変分における境界項が消えるという要請から生じ、ボーア＝ソルマーfeld条件に類似しているが、係数が $ 1/2 $ である。
• 量子化は近似的である：各ピークの幅は $ \alpha^2 n^2 \hbar $ のオーダーであり、$ \alpha $ は微細構造定数である。
• $ L_z $ と $ L_x $ の同時測定は、両者が自然な境界条件を満たすような単一の超曲面が存在しないために不可能である。
• この枠組みは、量子力学を仮定することなく、離散的測定結果の古典的場理論的起源を説明している。