[論文レビュー] Extension and trace theorems for noncompact doubling spaces

Clark Butler|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、コンパクトな空間から非コンパクトな完備ダブリング距離測度空間へのBesov空間の拡張およびトレース定理を、Busemann関数を用いた新規なユニフォーム化手続きを導入することで拡張する。これにより、ユニフォーム化された双曲充填が構成可能となる。主な貢献は、一般のダブリングおよび逆ダブリング条件の下で、Poincaré型不等式およびBesov関数の新しいLebesgue点および擬連続性に関する結果の導出である。

ABSTRACT

We generalize the extension and trace results of Björn-Björn-Shanmugalingam \cite{BBS21} to the setting of complete noncompact doubling metric measure spaces and their uniformized hyperbolic fillings. This is done through a uniformization procedure introduced by the author that uniformizes a Gromov hyperbolic space using a Busemann function instead of the distance functions considered in the work of Bonk-Heinonen-Koskela \cite{BHK}. We deduce several corollaries for the Besov spaces that arise as trace spaces in this fashion, including the existence of representatives that are quasicontinuous with respect to the Besov capacity, the existence of $L^p$-Lebesgue points quasieverywhere with respect to the Besov capacity, embeddings into Hölder spaces for appropriate exponents, and a stronger Lebesgue point result under an additional reverse doubling hypothesis on the measure. We also obtain several Poincaré-type inequalities relating integrals of Besov functions over balls to integrals of upper gradients of extension of these functions to a uniformized hyperbolic filling of the space.

研究の動機と目的

• コンパクトなダブリング空間から、完備非コンパクトなダブリング距離測度空間へのBesov空間の拡張およびトレース結果を一般化すること。
• 距離関数の代わりにBusemann関数を用いた手法により、Gromov双曲空間の新しいユニフォーム化法を開発すること。
• ユニフォーム化された双曲充填における拡張の上付き勾配と境界上のBesovノルムを関連付けるPoincaré型不等式を確立すること。
• トレース空間において、擬連続的代表元および$L^p$-Lebesgue点がほとんど everywhere に存在することを証明すること。
• 逆ダブリング仮定の下で、Hölder空間への埋め込みおよびより強いLebesgue点の結果を得ること。

提案手法

• 非コンパクトなダブリング空間$Z$の双曲充填として、$Z$をGromov境界$\partial X$から一点$\omega$を除いたものと同一視できる、適切な測地的Gromov双曲空間$X$を構成する。
• Busemann関数に基づくユニフォーム化を$X$に適用し、$X_\rho$というユニフォームメトリック空間を生成する。この空間の境界$\partial X_\rho$は$Z$とリプシッツ同値であるため、$Z$を$\partial X_\rho$に等長的に埋め込める。
• $Z$上の測度$\nu$を$X$上に一様に局所ダブリングな測度$\mu$に持ち上げ、各$\beta > 0$に対して$\mu$をユニフォーム化し、$X_\rho$上に測度$\mu_\beta$を定義する。これにより、$(X_\rho, d_\rho, \mu_\beta)$およびその完備化がダブリングであり、$1$-Poincaré不等式を満たすことが保証される。
• 式(1.1)によるセミノルムおよび式(1.2)によるノルムを用いてBesov空間$\check{B}^\theta_p(Z)$を定義し、拡張の上付き勾配を介して$X_\rho$上のニュートン＝ソボレフ空間と関連付ける。
• ユニフォーム化を用いて、(7.15)のようなPoincaré型不等式を導出し、$Z$上の関数の$L^{Q_*}$-ノルムと、双曲充填上のその上付き勾配の$L^p$-ノルムを結びつける。
• 球上の平均の減衰を解析し、半径推定式(7.7)および体積減衰評価(4.17)を用いることで、擬連続性およびLebesgue点の性質を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなダブリング空間におけるBesov空間の拡張およびトレース定理は、非コンパクトな完備ダブリング距離測度空間へ一般化可能か？
• RQ2 Busemann関数に基づくユニフォーム化手続きを用いて、境界が元の空間とリプシッツ同値となるような双曲充填およびユニフォームメトリック空間をどのように構成できるか？
• RQ3 ユニフォーム化された双曲充填における拡張の上付き勾配ノルムと、$Z$上でのBesovセミノルムとの間に成立するPoincaré型不等式は何か？
• RQ4 Besov関数がBesov容量に関して擬連続的代表元を持つための条件は何か？
• RQ5 測度$\nu$が逆ダブリング条件を満たすとき、どのようなより強いLebesgue点の結果が得られるか？

主な発見

• 逆ダブリング条件(7.6)および$Q>0$の相対的下位体積減少の下で、$C_{\check{B}^\theta_p}^Z$-擬至るところの点が、関数$f$のトレースに関して$L^{Q_*}(Z)$-Lebesgue点であることを証明した。ここで$Q_* = Qp/(Q - p\theta)$である。
• すべての関数$f \in \check{B}^\theta_p(Z)$は、Besov容量に関して擬連続的代表元を持つことを確立し、コンパクトの場合の結果を拡張した。
• 不等式(7.13)の第二項が$r \to 0$のときゼロに収束することを用いて、Besov容量に関してほぼ everywhere に$L^p$-Lebesgue点が存在することを示した。
• Poincaré型不等式(7.15)を導出した： $\left(\mathchoice{{\vbox{\hbox{$\textstyle-$}}\kern-7.83337pt}}{{\vbox{\hbox{$\scriptstyle-$}}\kern-5.90005pt}}{{\vbox{\hbox{$\scriptscriptstyle-$}}\kern-4.75003pt}}{{\vbox{\hbox{$\scriptscriptstyle-$}}\kern-4.25003pt}}\!\int_B |f - u_{\hat{B}}|^{Q_*} d\nu\right)^{1/Q_*} \lesssim \mathrm{diam}(B) \left(\mathchoice{{\vbox{\hbox{$\textstyle-$}}\kern-7.83337pt}}{{\vbox{\hbox{$\scriptstyle-$}}\kern-5.90005pt}}{{\vbox{\hbox{$\scriptscriptstyle-$}}\kern-4.75003pt}}{{\vbox{\hbox{$\scriptscriptstyle-$}}\kern-4.25003pt}}\!\int_{2\hat{B}} g^p d\mu_\beta\right)^{1/p}$ 上記の不等式における定数は幾何学的および測度論的パラメータに依存する。
• 逆ダブリング条件および相対的下位体積減少の下で、より強いLebesgue点の結果を得た。これにより、$C_{\check{B}^\theta_p}^Z$-擬至るところの点が$L^{Q_*}$-Lebesgue点であることが確認された。
• 著者らは、ノルム(1.2)に関して$\check{B}^\theta_p(Z)$がBanach空間であることを証明し、ユニフォーム化フレームワークを用いたこの事実の別証明を提供した。