[論文レビュー] Besov spaces via hyperbolic fillings

Tomás Soto|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2016

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、倍加測度空間上のメトリック空間の双曲的充填を用いて、$0<s<1$ の範囲における同次Besov空間 $\dot{\mathcal{B}}^{s}_{p,q}(Z)$ の新しい特徴付けを導入する。この手法により、関数のポisson拡張の離散的勾配を用いてBesovノルムを定義し、古典的定義と同値であることを確立するとともに、この正則性範囲におけるリプシッツ密度および複素補間の証明を可能にする。

ABSTRACT

We establish a new characterization of the homogeneous Besov spaces $\dot{\mathcal B}^{s}_{p,q}(Z)$ with smoothness $s \in (0,1)$ in the setting of doubling metric measure spaces $(Z,d,μ)$. The characterization is given in terms of a hyperbolic filling of the metric space $(Z,d)$, a construction which has previously appeared in the context of other function spaces in [3,1,2]. We use the characterization to obtain results concerning the density of Lipschitz functions in the spaces $\dot{\mathcal B}^{s}_{p,q}(Z)$ and a general complex interpolation formula in the smoothness range $0 &lt; s &lt; 1$.

研究の動機と目的

• メトリック測度空間上の幾何的構造を用いて、$0<s<1$ の正則性範囲における同次Besov空間 $\dot{\mathcal{B}}^{s}_{p,q}(Z)$ の新しい内在的特徴付けを構築すること。
• ユークリッド空間におけるこの新しい定義が、古典的Besov空間定義および他の既知の特徴付けと同値であることを確立すること。
• $Q/(Q+s) < p \leq \infty$ および $0 < q \leq \infty$ の範囲で、$\dot{\mathcal{B}}^{s}_{p,q}(Z)$ におけるリプシッツ関数の稠密性を証明すること。
• 双曲的充填フレームワークを用いて、$0<s<1$ の正則性範囲におけるBesov空間の一般化された複素補間公式を導出すること。

提案手法

• スケール $2^{-n}$ のdyadicネット $X_n$ を用いて、メトリック空間 $(Z,d)$ の双曲的充填を構成し、有界な次数を持つグラフ $(X,E)$ を得る。
• 関数 $f \in L^1_{\text{loc}}(Z)$ のポisson拡張 $Pf$ を、各点 $\xi_x \in X_n$ を中心とする球 $B(x)$ 上での $f$ の平均値として定義する。
• $X$ 上の列 $u$ の離散的勾配 $du$ を、$E$ 上の辺を介した差分を符号化するベクトル値列として定義し、点毎のノルムを $|du(x)| = \left(\sum_{x' \sim x} |u(x') - u(x)|^2\right)^{1/2}$ と定める。
• 準ノルム $\|u\|_{{\mathcal{I}}^{s}_{p,q}(E)} = \left(\sum_{k \in \mathbb{Z}} 2^{ksq} \left\| \sum_{|e|=k} |u(e)| \chi_{B(e)} \right\|_{L^p(Z)}^q \right)^{1/q}$ を持つ列空間 ${\mathcal{I}}^{s}_{p,q}(E)$ を導入する。
• 演算子 $S: f \mapsto d(Pf)$ および $R: u \mapsto \lim_{N \to \infty} \left( \sum_{n=-N}^N I_n u - \sum_{n=-N}^{-1} I_n u(\xi_0) \right) + \mathbb{C}$ を用いて、$\dot{\mathcal{B}}^{s}_{p,q}(Z)$ と ${\mathcal{I}}^{s}_{p,q}(E)$ の間に同型写像を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同次Besov空間 $\dot{\mathcal{B}}^{s}_{p,q}(Z)$ ($0<s<1$) は、メトリック空間の双曲的充填を用いて内在的に特徴付け可能か？
• RQ2 双曲的充填によるこの新しい特徴付けは、ユークリッド空間における古典的定義と同等のノルムを与えるか？
• RQ3 この新しい特徴付けのもとで、リプシッツ関数は $\dot{\mathcal{B}}^{s}_{p,q}(Z)$ で稠密か？
• RQ4 このフレームワークを用いて、$0<s<1$ の正則性範囲におけるBesov空間の一般化された複素補間公式を導出可能か？

主な発見

• 双曲的充填およびポisson拡張の離散的勾配を用いた $\dot{\mathcal{B}}^{s}_{p,q}(Z)$ の新しい特徴付けは、ユークリッド空間では標準的定義と同値であることが、命題3.1により確認された。
• $Q/(Q+s) < p \leq \infty$ および $0 < q \leq \infty$ の範囲で、有界線形作用素 $S$ および $R$ を用いて $\dot{\mathcal{B}}^{s}_{p,q}(Z)$ と列空間 ${\mathcal{I}}^{s}_{p,q}(E)$ の間に同型写像が確立され、$R \circ S = \text{id}$ が成り立つ。
• $\max(p,q) < \infty$ の範囲で、有界な台を持つリプシッツ関数は $\dot{\mathcal{B}}^{s}_{p,q}(Z)$ で稠密である。これは、${\mathcal{I}}^{s}_{p,q}(E)$ における有限台列の稠密性および $R$ の全射性により示された。
• この構成により、$0<s<1$ の範囲におけるBesov空間の一般化された複素補間公式が得られ、既知の結果が測度空間の設定へと拡張された。