[論文レビュー] Extension criteria for homogeneous Sobolev space of functions of one variable

Pavel Shvartsman|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2018

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$p > 1$ および $m \in \mathbb{N}$ に対して、実直線上の任意の閉集合上に定義された関数を同次ソボレフ空間 $L_p^m(\mathbb{R})$ に拡張するための内挿的基準を提供する。古典的ウィットニー拡張作用素がこれらの空間において普遍的に最適であることが確立され、作用素ノルムが $m$ のみに依存する定数で有界であることが示され、$m$ 階差分を用いた構成的拡張基準が導かれる。

ABSTRACT

For each $p>1$ and each positive integer $m$ we give intrinsic characterizations of the restriction of the homogeneous Sobolev space $L^m_p(R)$ to an arbitrary closed subset $E$ of the real line. We show that the classical one dimensional Whitney extension operator is "universal" for the scale of $L^m_p(R)$ spaces in the following sense: for every $p\in(1,\infty]$ it provides almost optimal $L^m_p$-extensions of functions defined on $E$. The operator norm of this extension operator is bounded by a constant depending only on $m$. This enables us to prove several constructive $L^m_p$-extension criteria expressed in terms of $m^{th}$ order divided differences of functions.

研究の動機と目的

• 任意の閉集合 $E \subset \mathbb{R}$ および $p > 1$, $m \in \mathbb{N}$ に対して、空間 $L_p^m(\mathbb{R})|_E$ のトレース空間を特徴付けること。
• 関数 $f$ の $E$ 上で定義された関数の拡張 $F$ に対する $L_p^m(\mathbb{R})$-半ノルムの最小値を特定すること。
• ウィットニー拡張作用素が、すべての $p \in (1, \infty]$ に対して $L_p^m(\mathbb{R})$ 空間において普遍的に最適であることを確立すること。
• $m$ 階差分を用いた拡張のための構成的基準を提供すること。
• ウィットニー拡張作用素の作用素ノルムが $m$ のみに依存する形で一様に有界であることを示すこと。

提案手法

• $L_p^m(\mathbb{R})$ 空間に対して、古典的ウィットニー拡張作用素を普遍的な拡張手法として用いる。
• 特に $m$ 階差分 $\Delta^m f[S]$ の理論を適用し、トレースノルムを特徴付ける。
• トレースノルム $\|f\|_{L_p^m(\mathbb{R})|_E}$ と、$|\Delta^m f[x_i, \dots, x_{i+m}]|^p$ を間隔 $x_{i+m} - x_i$ で重み付けした離散和との等価性を確立する。
• 既知の結果 $L_\infty^m(\mathbb{R}) \cong C^{m-1,1}(\mathbb{R})$ を用い、双対性および補間技法を用いて $L_p^m(\mathbb{R})$ に適応する。
• 拡張作用素の作用素ノルムを定量化するため、鋭い定数 $\gamma^\sharp(L_p^m(\mathbb{R}))$ の概念を用いる。
• 有限集合 $E'$ を用いて、$\|f|_{E'}\|_{L_p^m(\mathbb{R})|_{E'}}$ を用いてトレースノルムを近似し、トレースノルムがすべての有限部分集合に関しての上界であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた閉集合 $E \subset \mathbb{R}$ および関数 $f: E \to \mathbb{R}$ に対して、$F|_E = f$ を満たす $F \in L_p^m(\mathbb{R})$ が存在するための条件は何か？
• RQ2 このような拡張 $F$ 全体にわたる $\|F\|_{L_p^m(\mathbb{R})}$ の下限は何か？
• RQ3 ウィットニー拡張作用素が、すべての $p \in (1, \infty]$ に対して半ノルムの意味で最適であることが示せるか？
• RQ4 トレースノルム $\|f\|_{L_p^m(\mathbb{R})|_E}$ はどのように $m$ 階差分を用いて特徴付けられるか？
• RQ5 すべての $p \in (1, \infty]$ に対して、ウィットニー拡張作用素の作用素ノルムの均一な上界は何か？

主な発見

• $p \in (1, \infty)$ のとき、関数 $f$ が閉集合 $E \subset \mathbb{R}$ 上で定義されているならば、$\widetilde{\mathcal{L}}_{m,p}(f:E) = \left(\sum_{i} (x_{i+m} - x_i) |\Delta^m f[x_i, \dots, x_{i+m}]|^p \right)^{1/p}$ が有限であるときに限り、$f$ は $L_p^m(\mathbb{R})$ に拡張可能である。
• トレースノルム $\|f\|_{L_p^m(\mathbb{R})|_E}$ は、$m$ のみに依存する定数を用いて $\widetilde{\mathcal{L}}_{m,p}(f:E)$ と同値である。
• ウィットニー拡張作用素は、すべての $p \in (1, \infty]$ に対してほぼ最適な拡張を提供し、作用素ノルムが $m$ のみに依存する定数で有界である。
• $p = \infty$ のとき、トレースノルムは $\sup_{S \subset E, \#S = m+1} |\Delta^m f[S]|$ と同値であり、ウィットニー作用素はこのノルムを普遍定数の範囲内で達成する。
• 鋭い定数 $\gamma^\sharp(L_p^m(\mathbb{R}))$ は、$m > 2$ のとき $K(m) \leq \gamma^\sharp(L_p^m(\mathbb{R})) \leq \Theta_m$ を満たし、$K(2) = 2$ かつ $m = 1,2$ のとき $\theta_m = K(m)$ である。
• トレースノルムは $\|f\|_{L_p^m(\mathbb{R})|_E} = \sup_{E' \subset E, \#E' < \infty} \|f|_{E'}\|_{L_p^m(\mathbb{R})|_{E'}}$ を満たし、ノルムが有限部分集合によって決定されることを示す。