[論文レビュー] Sobolev functions on closed subsets of the real line: long version

Pavel Shvartsman|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2018

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、任意の閉集合 $E \subset \mathbb{R}$ に制限されたソボレフ空間 $W_p^m(\mathbb{R})$ および同次ソボレフ空間 $L_p^m(\mathbb{R})$ のトレース空間を特徴付ける内挿的で変分的な基準を提供する。古典的ウィットニー拡張作用素が、$m$ にのみ依存する定数で有界な作用素ノルムを持つ $L_p^m$-拡張に関して普遍的に最適であることが確立され、$m$ 階差分を用いて定義されるノルムが、$m$ にのみ依存する定数の意味でトレースノルムと同値であることを示している。主な結果は、$E$ の有限部分集合上で $m$ 階差分の $L^p$-ノルムに基づく鋭い、構成的なトレース基準である。本稿では、$p=\infty$ の極限の場合への拡張も行われ、拡張作用素の有限性原理および乗法的定数についても議論されている。

ABSTRACT

For each $p>1$ and each positive integer $m$ we give intrinsic characterizations of the restriction of the Sobolev space $W^m_p(R)$ and homogeneous Sobolev space $L^m_p(R)$ to an arbitrary closed subset $E$ of the real line. In particular, we show that the classical one dimensional Whitney extension operator is "universal" for the scale of $L^m_p(R)$ spaces in the following sense: for every $p\in(1,\infty]$ it provides almost optimal $L^m_p$-extensions of functions defined on $E$. The operator norm of this extension operator is bounded by a constant depending only on $m$. This enables us to prove several constructive $W^m_p$- and $L^m_p$-extension criteria expressed in terms of $m^{th}$ order divided differences of functions.

研究の動機と目的

• 閉集合 $E \subset \mathbb{R}$ 上で定義された関数が、$p \in (1, \infty)$ に対してソボレフ空間 $W_p^m(\mathbb{R})$ に拡張可能かどうかを特徴付ける内挿的で構成的な基準を提供すること。
• 与えられた関数 $f$ のすべての拡張のうち、$W_p^m(\mathbb{R})$-ノルムが最小となるものの値、すなわちトレースノルム $\|f\|_{W_p^m(\mathbb{R})|_E}$ を特徴付けること。
• 古典的ウィットニー拡張作用素が、すべての $p \in (1, \infty]$ に対して $L_p^m(\mathbb{R})$-拡張に関して普遍的に最適であることを示すこと。作用素ノルムは $m$ にのみ依存する定数で有界である。
• $W_p^m(\mathbb{R})|_E$ のトレース空間に対して有限性原理を確立し、グローバルなトレースノルムが $E$ の有限部分集合上で定義された $m$ 階差分の局所的 $L^p$-ノルムの上限によって制御されることを示すこと。

提案手法

• 本稿では、$E$ 内のすべての有限増加 $m$-対についての $m$ 階差分の $L^p$-ノルムに、$\min\{1, x_{i+m} - x_i\}$ を重みとして乗じたものとして定義される変分的セミノルム $\mathcal{W}_{m,p}(f:E)$ を導入する。
• 作用素ノルムが $m$ にのみ依存する定数で有界であることが示され、$\|f\|_{W_p^m(\mathbb{R})|_E} \sim \mathcal{W}_{m,p}(f:E)$ が成り立つ。これにより、構成的トレース基準が確立される。
• 証明はウィットニー拡張作用素に依存しており、$L_p^m(\mathbb{R})$-拡張に関してほぼ最適であることが示され、$m$ にのみ依存する一様有界な作用素ノルムを持つ。
• 離散的集合 $E = \{x_i\}_{i=\ell_1}^{\ell_2}$ の場合、基準は全列にわたる和に簡略化され、インデックス範囲は $m_E = \min\{m, \#E - 1\}$ に制限される。
• 本稿では、$p = \infty$ の極限の場合への分析を拡張し、有限性原理と乗法的有限性定数 $\gamma^\sharp(N; W^m_\infty(\mathbb{R}^n))$ を導入する。
• 鋭い有限性数 $N^\sharp(L^m_\infty(\mathbb{R}^n))$ を議論し、特に $n=1$ および $n=2$ の場合の値の上限と予想を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数 $f$ が閉集合 $E \subset \mathbb{R}$ 上で定義されているとき、$p \in (1, \infty)$ に対して $W_p^m(\mathbb{R})$ に拡張可能となる条件は何か？
• RQ2 関数 $f$ を $\mathbb{R}$ に拡張する際の最小可能な $W_p^m(\mathbb{R})$-ノルムは何か？ そして、それはどのように内挿的に特徴付けられるか？
• RQ3 古典的ウィットニー拡張作用素は、すべての $p \in (1, \infty]$ に対して $L_p^m(\mathbb{R})$-拡張に関して普遍的に最適か？
• RQ4 トレース空間 $W_p^m(\mathbb{R})|_E$ は、$E$ の有限部分集合でのみテストすることで特徴付けられる有限性原理によって特徴付けられるか？
• RQ5 $W^m_\infty(\mathbb{R}^n)$ および $L^m_\infty(\mathbb{R}^n)$ の鋭い有限性数と乗法的定数は何か？ そして、漸近的にどのように振る舞うか？

主な発見

• トレース空間 $W_p^m(\mathbb{R})|_E$ は、$E$ 内のすべての有限増加 $m$-対についての $m$ 階差分の $L^p$-ノルムに、各対の最初と最後の点の距離の最小値を重みとして乗じたセミノルム $\mathcal{W}_{m,p}(f:E)$ の有限性によって特徴付けられる。
• トレースノルム $\|f\|_{W_p^m(\mathbb{R})|_E}$ は $\mathcal{W}_{m,p}(f:E)$ と同値であり、定数は $m$ にのみ依存する。これにより、拡張可能性に関する鋭い、構成的な基準が得られる。
• 古典的ウィットニー拡張作用素は、$L_p^m(\mathbb{R})$-拡張に関して普遍的に最適である。作用素ノルムは $m$ にのみ依存する定数で有界であり、$p$ や $E$ に依存しない。
• 離散的集合 $E = \{x_i\}_{i=\ell_1}^{\ell_2}$ の場合、基準は全列にわたる和に簡略化され、インデックス範囲は $m_E = \min\{m, \#E - 1\}$ に制限され、鋭い同値関係 $\|f\|_{W_p^m(\mathbb{R})|_E} \sim \widetilde{\mathcal{W}}_{m,p}(f:E)$ が得られる。
• $p = \infty$ の場合、鋭い有限性数 $N^\sharp(L^m_\infty(\mathbb{R})) = m+1$ を持つ有限性原理が確立され、$\gamma^\sharp(L^m_\infty(\mathbb{R}))$ が有限であり、$m$ に依存せずに有界であることが示された。
• 本稿では、高次元における鋭い有限性数の予想を提示する：$N^\sharp(L^m_\infty(\mathbb{R}^{n+1})) = \prod_{k=1}^{m+1} k^{\binom{m+n-k}{n-1}}$ であり、$\lim_{N \to \infty} \gamma^\sharp(N; W^2_\infty(\mathbb{R}^2)) > 1$ を示した。これにより、乗法的有限性定数が $1$ に収束しないことが示された。